数理化自学丛书 22 代数 术出版社 第二册 ==========第1页========== k/、22 bb7 2:1 数理化自学丛书 代 数 第二册 数理化自学丛书编委会数学编写小组编 2667 上春科特技术出版杜 ==========第2页========== 数理化自学丛书代数（第二册）数理化自学丛书编委会数学编写小组编上海科学技术出版社出版 （上海瑞金二路450号)北京出版社重印北京市新华书店发行北京印刷二厂印刷开本787×10921/32印张13.875字数306,0001964年2月第1版1979年1月第1次印州 书号，18119561·定价：0.91元 ==========第3页========== 内容提婴 本书是数理化自学丛书中代数的第二册，内容包括一元次方程，一元一次不等式，一次方程组，方根，实数，根式，有理数指数幂，一元二次方程，二元二次方程组等九章，书中对重点、难点以及关键性的内容力求反复详细说明，并有大量例题和习题，以适应自学的需要，书中带有号的题目较难些，初次练习时可以暂时不做、 本书供学完代数第一册的青年工人、在职干部及知识肯年自学之用，也可供中等学校青年教师参考。 ==========第4页========== 重印说明 《数理化自学丛书》是一九六六年前出版的.计有《代数》 四册，《平面几何》二册，《三角》一册，《立体几何》一册，《平面解析几何》一册；《物理》四册；《化学》四册.这套书的特点是：比较明白易懂，从讲清基本概念出发，循序前进，使读者易于接受和理解，并附有不少习题供练习用.这套书可以作为青年工人、知识青年和在职干部自学之用，也可供中等学校青年教师教学参考，出版以后，很受读者欢迎.但是在“四人帮”及其余党控制上海出版工作期间，这套书横被扣上所谓引导青年走白专道路的罪名，不准出版 英明领袖华主席和党中央一举粉碎了祸国殃民的“四人帮”.我国社会主义革命和社会主义建设进入新的发展时期。党的第十一次全国代表大会号召全党、全军、全国各族人民高举毛主席的伟大旗帜，在英明领袖华主席和党中央领导下，为完成党的十一大提出的各项战斗任务，为在本世纪内把我国建设成为伟大的社会主义的现代化强国，争取对人类作出较大的贡献，努力奋斗.许多工农群众和干部，在党的十一大精神鼓舞下，决心紧跟英明领袖华主席和党中央，抓纲治国，大干快上，向科学技术现代化进军，为实现四个现代化作出贡献，他们来信要求重印《数理化自学丛书》.根据读者的要求，我们现在在原书基础上作一些必要的修改后，重新出版这套书，以应需要 十多年来，科学技术的发展是很快的，本丛书介绍的虽仅是数理化方面的基础知识，.但对于应予反映的科技新成就方面内容，是显得不够的.同时，由于本书是按读者自学的要求编写的，篇幅上就不免有些庞大，有些部分也显得有些须琐、这些，要请读者在阅读时加以注意 对本书的缺点，希望广大读者批评指出，以便修订时参考， 一九七八年一月 34109 ==========第5页========== 目 录 重印说明 §3·4用加减消元法解二元 第一章一元一次方程和可 一次方程组98 似化为一元一次方 835含有字母系数的二元 程的分式方程…1 一次方程组的解法…104 §11等式…1 *836二元一次方程组的解 §1,2方程…3 的三种情况…107 §13同解方程…6 §3.7三元一次方程和三元 §14方程的两个基本性质…8 次方程组的意义…110 815一元一次方程的解法…16 §3·8用代入消元法解三元 §16列出方程来解应用题…30 一次方程组…111 §17分式方程…51 §3·9用加减消元法解三元 §1·8列出分式方程来解应 一次方程组…113 用题…59 §310可以化为二元一次方 本章提要…64 程组或者三元一次方 复习题一…65 程组来解的分式方程 第二章一元一次不等式…69 组…117 §21不等式…69 §311列出方程组解应用 §22不等式的性质72 题…124 §23一元一次不等式和它 本章提要…133 的解法…77 复习题三…134 本章提要…86 第四章方根…137 复习题二…86 §41方根的意义…137 第三章一次方程组…89 842方根的性质…139 能831二无一次方程的意义…89 §43方根的记法…141 832二元一次方程组的意 S44算术根…148 义ii…92 §45完全平方数的开平 §33用代入消元法解二元 方148 一次方程组…94 846开平方的一般方法…150 ==========第6页========== 847近似平方根…158 §6.12根式的乘方…245 量48平方根表和它的用 86·13根式的除法…248 法…161 §6.14把分母有理化…250 §49立方根表和它的用 56…15根式的开方…256 法…167 8616a士2√万的算术平方 本章提要*+169 根…257 复习题四…170 本章提要……261 第五章实数…173 复习题六……263 §51无理数…173 第七章有理数指数幂…266 852实数…178 §7,1正整数指数幂…266 §53近似数概念4…183 §7,2等指数幂…268 §5·4近似数的加法和减 §7,3负整数指数幂…269 法…191 37·4分数指数幂…274 §5.5近似数的乘法和除 本章提要…283 法……194 复习题七…284 §56近似数的乘方和开 第八章一元二次方程和可 方…197 以化成一元二次方 857近似数的混合运算…199 程来解的方程…286 §5·8几个常用的求近似值 88.1一元二次方程…286 的公式……206 $82不完全一元二次方程 本章提要i…210 的解法…288 复习题五…211 883完全一元二次方程的 第六章.根式…213 解法（一）一因式 861根式的意义…213 分解法…295 862根式的基本性质…216 S8·4完全一元二次方程的 §63同次根式…219 解法（二）一配方 §6·4乘积的算术根…220 法…299 6.5分式的算术根…223 $85完全一元二次方程的 §66根号里面和外面的因 解法（三）一公式 式的移动…225 法302 §6·7化去根号里的分母…228 §86一元二次方程的根的 S6…8最简根式.…231 判别式…306 §6.9同类根式…235 887列出方程解应用题311 86·10根式的加减法…237 §8·8一元二次方程的根与 86·11根式的乘法*w…240 系数的关系（韦达定 ==========第7页========== 理)…316 二次项的…376 §89韦达定理的应用320 894由两个二元二次方程 88·10二次三项式的因式分 所组成的方程组的解 解…327 法（二）一可以消去 。8·11利用十字相乘法分解 一个未知数的…380 二次三项式的因式332 s95由两个二元二次方程 §8.12二元二次多项式的因 所组成的方程组的解 式分解…337 法（三）一一个（或 §8,13双二次方程…339 者两个)方程可以分 §8·14可以化成一元二次方 解成两个一次方程 程来解的其他特殊的 的…383 整式方程342 896由两个二元二次方程 88·15分式方程……346 所组成的方程组的解 8816无理方程…351 法（四）一两个方程 本章提要…361 都没有一次项的…386 复习题八…362 897由两个二元二次方程 第九章二元二次方程组…365 所组成的方程组的解 §91二元二次方程组365 法（五）一可以用除 §92由一个二元一次方程 法降低方程的次数 和一个二元二次方程 的…388 所组成的方程组的解 本章提要…391 法。367 复习题九…en0ci.391 93由两个二元二次方程 总复习题394 所组成的方程组的解 习题答案…402 法（一）一一可以消去 ==========第8页========== 第一章一元一次方程和可以化为 一元一次方程的分式方程 §11等 式 在代数第一册里，我们已经学过代数式。我们知道，用运算符号把由数字或者字母表示的数连结起来所得的式子，叫 做代嫩式.例如，a,一司，5+7,5g2,(e+等，我 们还知道，单独的一个用数字或者字母表示的数，例如，心，4， B,6.4等，也可以看做是代数式. 用等号连结两个代数式所成的式子，叫做等式。例如，m+2m=3m; 4u 2o 1=2ai3 (a+b)(a-b)=a2-b2,a3+b3=(a+b)(a2-ab+b)3心-5=8； 心2=9 等都是等式. 在等式里，等号左边的代数式，叫做左边；等号右边的代数式，叫做右边.例如，在等式m十2m=3m里，左边是m十2m,右边是3m. 我们来看上面的几个等式。在等式m+2m=8m里，不论m等于任何数值，左边和右边的值总是相等的. 等式(a+b)(a-)=a2-b是代数第一册里已经学过的乘法公式，它是多项式乘法的结果，不论4和b于任何数 ==========第9页========== 值，左边和右边的值总是相等的。例如，当a-子，-0时，左边等于子，右边也等于是 等式a3+b3=(a+b)(a2-ab+)是因式分解中常用的 一个立方和公式，不论a和b等于任何数值，左边和右边的值也总是相等的 等式一2，这是根据分式的搭本性硬，从的分所得 的结果.当心=0时，分母2心等于0，分式没有意义，所以c的 数值不允许等于0.但是除了G=0时分式没有意义以外，不 论心等于其他任何数值，左边的值总是等于右边的值 这就是说，在上面的四个等式里，不论用任何允许取的数值代替其中的字母，等式总是成立的 一个等式，不论用任何允许取的数值代替其中的字母，它的左右两边的值总是相等的，这样的等式叫做恒等式.例如，上面所讲的四个等式都是恒等式 由数字组成的等式，也都是恒等式。例如，下面这些等式，都是恒等式： ー(T-2)=~7+2; (-2)3=-8 82+42=5; (7+3×2-3)÷2=4+1. 我们再来看等式心一5=8和=9.在等式心一5=8里，c并不是可以取任何数值都能使左右两边的值相等。例如，当心1时，左边等于一4，而右边等于8，两边的值就不相等、所以心一5=8虽然是等式，但不是恒等式 同样，在等式心2=9里，心也不是可以取任何数值都能使等式成立.例如，当心=一5时，左边等于25，而右边等于9，两边的值就不相等，所以=9也不是恒等式， 020 ==========第10页========== 例判别下列等式是不是恒等式(1(a+b)3=a3+3a2b+3ab+b, (2)2c+5=3c-1. 【解](1)因为不论a和b等于任何数值，左右两边的值总相等.所以(a+b)3=a8+3ab+3ab2+b8是恒等式.(②)因为心并不是取任何数值都能使左右两边的值相等，例如，当x=5时，左边等于15，而右边等于14，两边的值就不相等.所以2c十5=3x-1不是恒等式. 习题11 1.等式和代数式有什么区别？举两个例子来说明 2.什么叫做恒等式？举两个例子 3。指出下列等式中，哪些是恒等式?哪些不是恒等式？ (1)4+7=11; (2)x+7=11; (3)3x-5=-2; (4)一（エー4）=4-a (5)(a-b)2=a2-2ab+b2; (6)2=xx; (7).(a-b)8=a8-3a2b+3ab2-b8;(8)x2=2x; (9)9-2x=x-6; (10)3x-y=1; (11)x+y=y+; (12)+y=x+; (13)(x-2)(a+1)=2ー2； (14)(x-2)(+1)=0: (15)ーy=(xーy)(+y+y);(16)ーy8=1 §12方 程 我们来看下面这个问题：什么数减去2等于3？ 如果用化表示这个数，那末可以写出等式 c一2=3 ==========第11页========== 因为这里心并不是取任何数值都能使左右两边的值相等，所以心一2=3不是恒等式 在这个等式里，2和3是问题中已经告诉我们的数，这种数叫做已知数.而字母心的值，需要根据它与等式里的已知数2和3之间的关系来确定的. 等式里字母的值，需要根据它与等式里的已知数之间的关系来确定的，这样的字母叫做未知数 含有未知数的等式，叫做关于这个未知数的方程，简称方程.方程中不含未知数的项叫做常数项 例如，心一2=3就是方程.又如，5y=2,心2=9，c十=10等也都是方程 在方程心一2=3里，如果用5代替未知数心，那末方程左右两边的值相等。 能够使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 例如，5是方程x一2=3的解。又如，在方程5y=2里， 用会代睿未知数，方程左右两边的值相等，所以号是方程 =2的解。在方程c2=9里，用3或者一3代替未知数心，方程左右两边的值都相等，所以3和一3都是方程2=9的解。 只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根.例如，方程心一2=3的解是5，我们也可以说，方程心一2=3的根是5。同样可以说，方程y=2的根是号方程2-9的根是3和一3. 求方程的解或根的过程，叫做解方程例1，根据下面所说的数量关系，列出方程： ==========第12页========== (1)加上3等于7 (2)x的4倍减去2等于心的2倍； (3)c的5倍比x的3倍大8.[解】(1)w+3=7; (2)4-2=2; (3)5心-3x=8. 说明x的5倍比x的3倍大8，就是说，x的5倍减去：的3倍等于8. 例2、检验下列各数是不是方程心2=心十2的根 (1)1; (②)-1； (3)2. [解】(1)用1代替方程c2=c+2里的，这时，左边=12=1， 右边=1+2=3， .·左边≠右边，，1不是方程心2=心十2的根(②)用一1代替方程如=c十2里的c,这时，左边-(-1)2=1， 右边-一1十2=1， 左边=右边，'.一1是方程2=心十2的根(③)用2代替方程2=心+2里的，这时，左边=22=4， 右边=2十2=4， ·左边=右边，∴.2是方程2=心十2的根注符号“+”读做“不等于”。有些书上写成“+”，是通用的。 习题12 1.用方程来裘示下列数量关系： (1)x减去6等于3； (2)x的4倍加上5等于13； (3)x的2倍加上7等于它的5倍减去8； (4)x的3倍比x的5倍小4 ==========第13页========== ッ比y的大12，(⑥e的号与云的号的和等于2， (7)x与2的差的5倍等于15； (8)x与3的和的平方等于x的10倍与6的和 2.什么叫做方程的根？用下列方程后面括号里的数值一一代替方程中的未知数，指出哪些是方程的根？哪些不是方程的根？ (1)x+2=0,(2,-2); (2)2x-5=1,(3,4); (3)2a=6,(3,-3); (4)x2=9,(3,-3);(⑤)x2-x=6,(3,-2)； (6)(c-3(x+3)=0,(-3,3,0); (7)3+8=是-14，(8，-8 ）a3✉+2)-0，(-号，0，号》 (⑨)x(如-2)=8，(-2,2，-4,4)：(10)8-7=6,(1,2,-3). §13同解方程 我们来看下面的两个方程： 3-2=4, (1) 3c=6. (2) 如果用心=2代入方程(1)时，方程两边的值都等于4，所以2是方程(1)的根.如果用2以外的任何数值代替方程（①）里的心，例如用5代替c,左边的值等于13，右边的值等于4,这时方程两边的值就不相等，所以5不是方程(1)的根。因此，方程(1)只有一个根2。 6 ==========第14页========== 用同样的方法，我们可以知道方程(2)也只有一个根2。这就是说，方程(1)的根和方程（②）的根完全相同. 两个方程，如果第一个方程的根都是第二个方程的根，并且第二个方程的根也都是第一个方程的根，那末这两个方程叫做同解方程 例如，方程(1)和方程(2)是同解方程. 又如，在习题1·2的第2题里，我们已经做过，知道方程2c-5=1的根是3，方程2a=6的根也是3，所以方程2c-5=1和方程2x=6是同解方程 方程x2=9有两个根一3和3，方程(c一3)(c+3)=0也有两个根一3和3，所以方程x2-9和方程(-3)(+3)=0是同解方程 但是，方程心+2=0的根是-2，方程心2一心=6的根是 一2和3，虽然方程c+2=0的根是方程x2-心=6的根，但是方程2-心=6的两个根里，只有一个根一2是方程心十2=0的根，而另一个根3却不是方程+2=0的根，所以这两个方程就不是同解方程. 例已知方程(x+2)(2一1)=0有而且只有两个根： 一2和司，方程2x-3x=-2有面且只有两个根：是和-2，判 别这两个方程是同解方程吗？ 【解】因为方程(+2)(2-1)=0有两个根，它们都是方程22+3a=2的根，并且方程22+3心=2有两个根，它们也都是方程（心+2）(2c一1)=0的根，所以这两个方程是同解方程。 习题1·3 1.(1)什么叫做同解方程？ ==========第15页========== (2)方程5x=10和方程x+1=3是不是同解方程？ 2.(①)第一个方程的根是3和5，第二个方程的根是5和3，这两个方程是不是同解方程？ (2)第一个方程的根是3和5，第二个方程的根是3和一5，这两个方程是不是同解方程？ (3)第一个方程的根是3和5，第二个方程的根是5，这两个方程是不是同解方程？ (4)第一个方程的根是3和5，第二个方程的根是3,5和6，这两个方程是不是同解方程？ 3.下列方程后面的括号里的数是这个方程全部的根，指出下列方程中哪些是同解方程： (1)2x-3=x,(3); (2)2x-1=3x,（-1); (③)(x+1)(x-3)=0,（-1,3)；(4)5x-8=2x+1,(3); (5)-3x=0,(0,3); (6)x2-3=2x,(3,-1). [解法举例：方程2x一3=x的根是方程5x-8=2x+1的根，方程5c-8=2+1的根也是方程2c一3=x的根，所以这两个方程是同解方程. 4.(④)受和-3是方程(2a-1)(c+3)=0的根吗？ (②)方程2w-1=0和方程(2c-1)(x+3)=0是不是同解方程？ (3)方程(2心-1)(x+3)=0和方程x+3=0是不是同解方程？ 5.(1)5是方程2x+1=3x然-4的根吗？4是方程2x+4=3x一1的根吗？ (2)方程2x+1=3x-4和方程2x+4=3x-1是不是同解方程？ §1·4方程的两个基本性质 在上一节里，要判别一个方程和另一个方程是不是同解方程，我们需要把两个方程的根一一代入检验，这样的方法是很麻烦的.为了解决这个问题，并且能够正确地掌握解方程的方法，我们先来研究方程的两个基本性质。 8· ==========第16页========== 1。方程的第一个基本性质、我们看下面一个问题：什么数减去3等于7？ 如果设某数为心，可以列出方程 -3=7. 我们如果用算术方法来考虑：某数减去3所得的差是7，大家都知道，这个某数（即被减数）等于差7与减数3的和.列出方程，可以得到 心=7+3 这里，当龙-10的时候，方程心一3=7的两边都等于7，方程心=7+3的两边都等于10.这就是说，10是方程心-3=7的根，也是方程=7+3的根.所以方程-3=7和方程心=7+3是同解方程. 从这个例子，我们可以得出一个性质： 方程的两边都加上（或者都减去）同一个数，所得的方程和原方程是同解方程。 再看下面这个方程： 8m-2=10. 从这个方程的两边都减去同一个整式2心一1，得到 3x-2-(2c-1)=10-(2c-1). 当x=4的时候，方程3一2=10的两边相等，这时2一1=7,所以两边都减去整式2c一1，实际上就是两边都减去7，因此方程3x一2-(2-1)=10一(2c-1)的两边也相等.所以我们知道方程3c-2=10和方程3c-2-(2-1)=10-(2c一1)也是同解方程. 根据上面所说的，我们得到方程的第一个基本性质：方程的两边都加上（或者都减去）同，个数或者同，个整式，所得的方程和原方程是同解方程。 ==========第17页========== 例1.把下列方程变形成它的同解方程，使方程的左边只留下一个未知数心，而右边是用数字表示的数： (1)x-5=8; 倒a-0-+层 分析利用方程的第一个基本性质，我们可以把原方程变形成它的最简单形式的同解方程， [解1(1)x-5=8.方程的两边都加上5，得 c=8+5, 就是 c=13. (2)9x-0=8x+ 方程的两边都加上一个整式一8+0，得 9ac-8x=3+、7 10· 合并同类项，得 x=110· 注意把方程逐步变形成它的同解方程时，不可以用“=”把前后两个方程连结起来.例如，从方程x一5=8得出它的同解方程红=8+5，不能错误地写成心一5=8=x=8+5,应该按照上面例题中那样一步一步分开写.很明显，如果照花一5=8=x=8+5这样的写法，就会得出8=8+5这样一个错误的结论. 2证明方8e-8+和方程-1음是 ,同解方程。 。10· ==========第18页========== 【证1把1음代方程a一-8+꼬的，得 左边=9×137 1010=11, 右边-8x+-13 方程左右两边的值相等，所以方程9x一7-8x+的 10 根是1品用其他的值代替方程中的，左右两边就不相等，说明它没有别的根。这就是说，方程98x+7 10 5 的根和方程=1 的根是完全相同的.因此，这两个方程 是同解方程 我们来观察一下：在上面例1(1)中的两个方程x一5=8和心=8+。里，含有一5的一项原来在第一个方程的哪一边？符号是正的还是负的呢？后来在第二个方程的娜一边？符号是正的还是负的呢？很明显，含有一5的一项原来在方程的左边，符号是负的；后来在方程的右边，符号变成正的了.再 看例1②)中的两个方程0-0-8+8和9-8一骨+品里，含有-0的一项，原来在方程的左边，符号是负的，后 来在方程的右边，符号变成正的；而含有8的一项原来在方程的右边，符号是正的，后来在方程的左边，符号变成负的了. 从上面的例题可以看出： 方程中的任何一项，都可以把它的符号改变后，从方程的 一边移到另一边. 把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这 ==========第19页========== 种变形，叫做移项.移项以后所得的方程和原方程是同解方程. 移项的法则是： 要把方程中的项从等号的一边移到另一边，必须改变这个项的符号. 移项法则在以后解方程中经常要用到，必须熟练掌握.例3.利用移项的方法，把下列方程变形成左边只留下 一个未知数心，而右边是数字表示的数的方程： (1)속~3-亭 (2)8ax+5=10x+1-3. 【解】（山号=8-号 移项，得 +용=3 合并同类项，得 优=3。 (2)8x+6=10x+1-3x 移项，得 8x-10c+8a=1-5。 合并同类项，得 0=一4， 习题14(1) 1.根据方程的第一个基本性质，说明下列各题中的两个方程是同解方程： (1)5x-3=2和5x=5; 12● ==========第20页========== [解法举例：在方程5x-3=2的两边都加上3，就得到5c=5,所以方程5.-3=2和方程5x=5是同解方程.] (2)4+7x=10和7x=6; (3)4x+3=2xc-4和2c=-7; (4)2然-9=6-4x和6xx15; の号-8s-1-5和2~・い 2,用移项的方法把下列各方程变形成它的同解方程，使方程左边只留下一个未知数，而右边是数字表示的数： (1)x-11=6; (2)2.7+x=4.2; (3)4w=5+3x; (4)6y-2=5y; (6)3-2c=4-3x; (6)7a+5=6a+5; (7)9y+2=8y-6; (8)-5x-3=2-6x; (侧2s-号=+后 (1)+움--움,273 (11)5x-8+6x=10x-1; (12)9x-3=13x+4-5x. 注意第(4)，（⑥），(7)各题中的未知数分别是y,a,不要错误地写成. 2。方程的第二个基本性质我们看下面这个问题：什么数除以5等于3？设某数为心，可以列出方程 常-8 如果用算术方法来做，大家都知道，这个某数（即被除数）等于商3与被除数5的乘积.列出方程，可以得到 c=3×5 这里，方程答-3的根是15，方程如=3×5的根也是15,所以方程号-3和方程心=3×5是同解方程。 同样可以看到，方程 ==========第21页========== 2x=6 和方程 C=3, 它们的根都是3，所以方程2c=6和方程x=3也是同解方程. 从上面所说的，我们得到方程的第二个基本性质：方程的两边都乘以（或者都除以）不等于零的同一个数， ·所得的方程和原方程是同解方程、 特别要注意，如果用零乘方程的两边，那末所得的方程就 不是原方程的同解方程。例如，方程若-3的两边都乘以零， 得到 품×0-3x0. 在这个等式里，不论用任何数值代替心，左右两边的值都等于零，它们是相等的.所以这个等式就成为一个恒等式了. 如果方程的两边都除以零，那末两边都没有意义。例4.把下列方程变形成它的同解方程，使方程的左边只留下一个未知数，而右边是数字表示的数： (2)-3x=7. 分析这两个方程里含有未知数x的项的系数都不是1，我们可以利用方程的第二个基本性质，把原方程变形成它的含有x项的系数是1的同解方程 【解】（四受=-5 方程的两边都乘以2，得 心=-10. (2)-3c=7. 014 ==========第22页========== 方程的两边都除以一5，得 花=一23 习题1·4(2) 1.根据方程的第二个基本性质，说明下列各题中的两个方程是同解方程： （21和-2-多 [解法举例：在方程。2=1的两边都乘以3，就得到一2=3， 3 所以方程“号2-1和方程“-2=3是同解方程] (2)4x-8=6和2x-4=3; ()号3-2)=-1和-2-51(④）星(5-2a)=9z和5-2z=12. 2,判别下列各题中的两个方程是不是同解方程： (1)3=一18和x=-6; (2)一景=-3和a=12 (3)x=3和0x=0; (4)x=1和x2=x, [提示：x=0是方程x2=x的根，但是方程就=1只有一个根1.]3,根据方程的第二个基本性质，把下列各方程变形成它的同解方程，使方程的左边只留下一个未知数x,而右边是数字表示的数： (1)0.2x=-3; (2)6x=4.2; 2 ④~号-阿 -= (5) 3 -0.7i-景 () (⊙是4=-0.69 (9)-1.2x=-33 (10)-5.x=0, 15 ==========第23页========== [提示：遇到题中既有小数，又有分数时，可以先把它们都化成分 数（或者小数再行计算.如果温到分数不能化成有限小数，象子，，是静，只能得到循环个数时，就把别的小数化成分数后，再行计算，】 §15一元一次方程的解法 1。一元一次方程的意义我们来看下面的儿个方程： 2a-7=5+U; 32-1-:3 7(x-1)-5(c+2)=3(2-1)+2(心-2)， 这些方程都只含有一个未知数，并且未知数的次数都只有一次.对于未知数来说，方程左右两边的代数式都是整式 对于未知数来说，方程左右两边的代数式都是整式的方程，叫做整式方程。只含有一个未知数，并且未知数的次数只有一次的整式方程，叫做一元一次方程 例如，上面一些方程都是一元一次方程；而方程心十则=4， +红-51-子等都不是一元一次方程. 说明在方程G+y=4里，有两个未知数x和y,所以它不是一元 一次方程。在方程+一5里，虽然只有一个未知数x,但是x的次数 有2次的，所以也不是-元一次方程。在方程=1-号里，豆然 只有一个未知数y,但是方程两边的代数式不都是整式，所以也不是一允一次方程。 习题15(1) 在下列方程里，哪些是一元一次方程？哪些不是？为什么？（题中 016● ==========第24页========== 字母x,y都表示未知数) 1.4y-7=5. 2.x2=16 3.-1=8+3. 4.2c-y=1。 5.2x=0, 6.r+1=2。 7.3(2-3)=5(x+1). 8.(x-1)2=9, 解方程的方法，就是根据方程的两个基本性质，把原方程逐步变形成比较简单的方程，直到最后得出象心=α这样的最简单的方程.因为根据方程的两个基本性质所变形得来的方程，和原方程是同解方程，所以最后得到的方程您一a的根，就是原方程的根. 在解方程的时候，为了使计算方便，我们常常利用移项的方法，把方程中含有未知数的项移到方程的左边，不含未知数的项移到方程的右边 下面我们分别来研究数字系数的一元一次方程和含有字母系数的一元一次方程的解法. 2。数字系数的一元一次方程的解法例1.解方程： 4x+1=6w-5, [解]移项，得4c-6c=-6-1.合并同类项，得一2c=-6.两边都除以一2，得心=3. 为了检验解方程时计算有没有错误，可以把求得的根代替原方程里的未知数，检查方程左右两边的值是不是相等.如果相等，说明计算没有错误；如果不等，说明计算有错误，就应该重做.检验的方法如下： 检验用3代替原方程里的x,得 ==========第25页========== 左边=4×3+1=13， 右边=6×3-5=13.。·左边=右边， .3是原方程的根 注意检验时左右两边应该分别计算，不能写成下面的形式： 4×3+1=6×3-5, 13=13. 因为在检验时，左右两边的值是不是相等还没有确定，就不应该用等号把它们连结起来， 例2.解方程 是-1器 分析解这个方程的时侯，要先算出方程里所有分母的最小公倍数，然后把方程的两边都乘以这个最小公倍数，使所得的方程不再含有分母。方程的这种变形叫做去分母.这个方程里分母的最小公倍数是60,所以我们按照下面方法来解方程 [解]去分母（两边都乘以60），得 (品-×60-器×60， 就是 5x-60=8x, 移项，得 5x-8x=60, 就是 -3x=60. 两边都除以一3，得 龙=-20. 检验用一20代替原方程里的心，得 左边=一20 12 -1=-2 3 018· ==========第26页========== 右边=2×（二20）=-2 15 3 ·左边=右边， .一20是原方程的根. 例3.解方程： 5(-1)=3(2-3c)-2(ac+6). [解]去括号，得 5x-5=6-9x-2c-10. 移项，得 5x+9c+2c=6-10+5. 合并同类项，得 16x=1. 两边都除以16，得 1 知=16 检验用名。代替原方程里的，得を边-（-）--4右边=3(2-3×）-2（品+）-4器 。·左边=右边， 高是原方程的根， 例4.解方程： --고 [解】去分母（两边都乘以10），得 2(gy-4)=3则-10. 019●· ==========第27页========== 去括身，得 2则-8=8gy-10. 移项，得 2y-3则=-10+8. 合并同类项，得 -y=-2。 两边都乘以一1，得 y=2. 检验用2代替原方程里的y,得 左边=24 2 5 5 右边3×2-1=-2 10 5 ”左边=右边， .2是原方程的根. 例5.解方程： 3x+2-5+1-2-7-1 4 2 3 【解]去分母（两边都乘以12），得 3(3心+2)-6(6x+1)=24-4(7x-1).去括号，得 9x+6-30-6=24-28w+4, 移项，得 9a心-30x+28x=24+4, 合并同类项，得、 7x=28, 两边都除以7，得 心=4。 ·20· ==========第28页========== 检验用4代替原方程里的：，得 左边=3×4+2-6×4+1=- 2 28=-7, 右边=2-7×4-1=2-9=-7. 3 ·左边=右边， .4是原方程的根、 注意1.去分母和去括号时要注意符号. 2.本题中去括号后，方程左边有“+6”和“-6”两项，显然，在合并同类项时可以消去，所以移项时，可以不列入计算，减少运算手续。 从上面几个例子里解方程的过程，我们可以概括出解一元一次方程的一殷步骤是： (1)方程里如果有分数系数，先去分母；()方程里如果有括号，先去括号：(i)移项；(v)合并同类项； 、(ⅴ)方程的两边都除以未知数的系数。 在解方程的时候，由于方程的形式不同，上面所说的儿个步骤并不一定都要用到，并且也不一定都按照上面的顺序进行演算.例如，例1就用不到去分母、去括号；例2就用不到去括号 习题15(2) 解下列各方程，并且加以检验(1~22)： 1.11x+42-2=100-9x-22, 2.8x-3+2x+1=7x+6-5x, 3.2(5y-9)+2=2y. 4.3(x-2)=5(2x+3), ◆210 ==========第29页========== 5.15-(7-5x)=2c+(5-3x). 6.4(2x+3)=8(1-)-5(x-2). 7则-星=+营 8登-3x-1. 9.7-5x=5-2x 2x-1=5x+1 3 2· 10. 6 8 11.x-。1=2-+2 3、12. -1-1-2a+1 2 4 6· 13.3m-2-父-2=8-2x .3 2 3 14.-1+号++풍+ 15.2y-1-3y-5-9+1+3=0. 3 2 6 16.4x+3.14-2-1.68=4.16-3x+2.85, 17.5x-3(2x+1)+7x=6-4(5-3x). 18.7(2c-1)-3(4x-1)-5(3x+2)+1=0. 19.3-5-2型=4-4-7型+y+2 5 10 2· 20.3의+3-45-，~2。 3 46 21,+4-(x-5)=-+3-프-2。 5 32m· 22.（이+）-(8-)（-）-・ 23.工等于什么数值时，代数式-1+四的值等于2？ 3 24.:等于什么数值时，代数式2“号3与号-3的值相等？5 例6.解方程： [(+)+]-号- 解]去括号，得 을[금++]-- 622· ==========第30页========== 受[+]-- +4-52c 23 就是 2w 去分母（两边都乘以12），得 3x+18=8w, 移项并且合并同类项，得 -5x=-18 两边都除以-5，得 5 3 检验后可以知道如=3确实是本题所求的根。 说明1.这个题目应该先去括号，化简府再行去分母，这样做，比较简便： 2,前面所说的检验，虽然不是解方程中的必要步骤之一，但是为了检查计算有没有错误，读者还应该进行检验、除了按照上面的方式来检验外，也可以利用心算来检验。本书为了节省篇幅起见，以下各例检验都从略 例7.解方程： 2g+2号-1.48=0. 30.2 分析这个方程里，分母含有小数，并且还有分数，为了运算简便，可以先把分母上的小数化成分数，然后使分母变成整数，并且把带分数 也化成假分数后再解，0.3-司，所以品一警；02=品，所以 0.2 14,2-을 1.4-3x=14-30x: ●23● ==========第31页========== [解]原方程可以变形成为 22+景-1480e-0,3 2 去分母（两边都乘以6），得 40x+16-42+90x=0. 移项并且合并同类项，得 130x=26. 两边都除以130，得 261 化=1305· 说明方程的右边是0，因为0乘以任何数的积总是0，所以去分母后右边仍旧是0。 习题15(3) 解下列各方程： 1.23[4(5x-1)-8]-20}-7=1. 3.담(-)-+f1 ,.3.x-2[-3(x+4)-5]=32x-[x-8(x-4)]}-2。 4.-是(-)号(-)-2. 5.2-号e-8)-号[e-3c+ 6.“号4-2s-1)+号e+1）-21=0.5 .1-青{e-若）号-号(e-”g） 8.出-1-g+2=1.2. 0.30.5 0.4x+0.9-0.03+0.02=x-5 0.5 0.03 2 10.1.8-8x-1.3-3x-5-04=0。 1.2 2 0.3 t24● ==========第32页========== 上面几个例子中，解方程的步骤都是按步标明，有利于正确掌握解方程的方法.但是在熟练以后，为了迅速运算起见，写法和步骤都可以简化，举例说明如下. 例8.解方程： (-1)2-(x+3)(x-3)=(c+1)(c+2)-(c-1)(c+4).[解]2-2c+1-(2-9)=x2+3c+2-(2+3G-4), c2-2+1-c2+9=c2+3+2-x2-3x+4, 一2+10=6， -2Ac=一4， ●。优=2. 说明1.这个方程虽然形式上不是一元一次方程，但是经过简化以后，就成为一元一次方程，所以仍旧可以用一元一次方程的解法来解。 2、在简化写法和步骤的时候，必须特别注意去括号时各项的正负符号以及移项的法则 例9.解方程： (2a-1)(42+2+1)-(2w+1)3=1-12(c-2)8. 【解]8x3-1-(8x8+12ax2+6w+1) 1-12(02-4a+4), 83-1-83-12x2-6c-1=1-12x2+48c-48, -6x-2=48x-47, -54c=-45, 5 化=6 说明演算本题时应该尽量利用乘法公式.如右边的(2c一1)、(4x2+2c+1)可以利用(a-b)(a2+ab+b2)=a8-b3的公式直接得出；(2x+1)8和(：-2)2可以分别利用(a+b)8和(4一b)2的公式展开，不要 ●25。 ........n ==========第33页========== 硬乘出夹。这样，可以一方面熟练巩固过去学过的乘法公式，另一方面可以简化运算过程。 习题15(4) 解下列各方程（可以用简化步骤演算）： 1.(x-1)(5c+3)—3x(2x-1)=7—2. 2.(2x-1)(+7)一(3x-2)(xー4)+(x+5)(~3)=0. 3.(8x-5)2-(7+5)2=15(x2-10). 4.3(2c-1)2-2(x-2)2=10(x2-2). 5.(움+)(-)-（음·）。 6.(4+)(-)=(-)(8z-1). 7.(+2)3-(-2)3=3(2x+3)(2x-3)-5x. 8.(x-4)(x2-2x+3)=(x-2)3 3、含有字母系数的一元一次方程的解法前面我们所解的一些方程都是数字系数的方程，除了数字系数的方程，我们还经常会遇到具有字母系数的方程.例如在方程a=b里，把c作为未知数时，那末a作为：的系数，叫做的字母系数.解含有字母系数的一元一次方程的步骤和解数字系数的一元一次方程的步骤是一样的，只是要注意用字母表示的那些已知数容许取的值有什么限制.现在举例来说明.例10.解关于c的方程： aa十b=cc+d(a≠c). 分析在这个方程里，有五个不同的字母。所谓解关于x的方程，就是把x作为这个方程里的未知数，那末其余四个字母a,b,c,d就看做是已知数，其中，和c都是x的字母系数又，题目里注明一个条件a≠c,因此，我们在解方程的过程中，就要根据这个已知条件进行演算、 ·26● ==========第34页========== 解】移项，得 ax-ca=d-b 合并同类项，得 (a-c)x=d-6, 因为a≠c,所以a一c≠0方程的两边都除以a-c,得 a=d-b a-c' 说明根据题目条件a≠c,所以a-c+0,也就是说，未知数的系数不等于零；因此，方程的两边才可以都除以a一c。如果没有a一c≠0这个条件，我们就不可以进行这样的演算. 对于含有宇母系数的一元一次方程，随着字母之间关系的不同，它的解可以有三种不同情况.例如，方程ac一b的解有下列三种情况： ()如果a≠0，那末也=。.就是说，方程am=b有一 a 个解 (2)如果a=0,b=0,那末原方程变成0=0，所以￠可以取任意值，我们说，方程a=b有无限多个解 (3)如果a=0,b≠0，那末方程变成0心=b,所以心不论取什么值，都不能适合这方程，我们说，方程a心=b没有解。 例11.解关于心的方程a心一b=cx十d,并且加以讨论.[解]移项并且整理后，得 (a-c)a=64d 讨论： (1)如果a≠c,那末a一c≠0，所以这个方程有一个解， 4279 ==========第35页========== 这个解是c=6+d a-c (2)如果a=c,b=-d,那末a-c=0,b+d=0,所以这个方程有无限多个解. (3)如果a=c,b≠一d,那末a一c=0,b十d≠0，所以这个方程没有解. 例12.解关于y的方程： y一b=2-y-a (a+b≠0). a b 分析.根据题意，和b都不能等于零（因为如果a或者b等于零， 分式。之或者”。就没有意义，那末原方程地就没有意义，因此， ab+0. 【解]去分母（方程两边都乘以ab),得 b(y-6)-2ab-a(y-a). 去括号，得 by-b2=2ab-a则+aw2. 移项，得 ay+by=a2+-2a6+82 合并同类项，得 (a+b)则=(a+b)3 因为十b≠0，方程的两边都除以(a+b),得 y=a十b. 习题1·5(5) 1.由等式ad=bc,(a,b,c,d都不等于零)：(1)用b,c,d表示a;(2)用a,b,d表示c;(3)用a,b,c表示d. [解法举例：(1)把a看做未知数，b,c,d看做已知数，那末这个 ·28● ==========第36页========== 等式可以看做关于a的一元一次方程。两边都除以d,得a=架.】2。在等式心=号中，心表示速度，表示走过的距离，t表示行走 的时间.设v和t都是已知数，求s。解下列关于x的方程(3~11)： 3.3a+4x=7x-6b. 4、(n-1)c=n(n+x). 5.(m+1)(-1)=(m-1)(x+1). 6.3au+b=2ax+c(a+0). 7.mx-%=2c-3(m≠2). 8.a(x-a)=6(x-6)(a#b), 9.3cx-5a+b-2c=6b-(a+3bx+2c)(b+-c). 10.(b-c)(aーx)+(c-a)(b-x)+(a-b)(c-x)=1-. 11.(c+a2)(x+)=(x+ab)2(a+b). 12.(1)由=0+at,用U,vo,a表示t; (2)由2=2as,用v,a表示8； (3)由F=f:mm2,用E,于，咖1，r表示m2. 2 13.解下列各方程： (1)y=mx+b,x是未知数，m+0; (2)c+by+c=0,y是未知数，b+0; (3)9=以+号识，是未知数，中0时4)=해+는a,是知款，1+0。 解下列各方程，方程中x,y,名，t是未知数(14~19)： 14.x-龙=a(a+1). a 15.y+"m以=m+n(m+n+0). 10.吾-b=言-aa*b). 17.a+be.-c+d2 a+b c+d (ad#bc). '●2日 ==========第37页========== 18.t-3=2bt &-b-a+6=a2-b2(a+b), 19.父一郭十心二%=父一2 ac ab(a+b中c). 20.解关于x的方程龙-公=1，并且加以讨论.' 737 §1·6列出方程来解应用题 上一节里，我们已经学过一元一次方程的解法，现在应用解方程的方法来解决一些实际问题。 我们看下面的例子： 例1.某数的2倍减去1等于这个数加上5，求某数分析现在要求某数，我们就用字母x表示这个某数，那末，某数的2倍就是2x;某数的2倍减去1就是2c-1;这个数加上5就是如十5.再根据已知条件“某数的2倍减去1等于这个数加上5”这个相等关系，就可以列成等式： 2x-1=x+5, 解这个方程，求得x的值，就是某数. 【解]设某数是心，那末某数的2倍是2心，某数的2倍减去1是2a-1;这个数加上5是c+5 因为某数的2倍减去1等于这个数加上5，所以根据这个相等关系，可以列出一个方程： 2c-1=0+56, 解这个方程， 2心=5+1， ..x=6 检验某数的2倍减去1是11，某数加上5是11，恰巧 ·30◆ ==========第38页========== 相等，所以：=6是本题的解 答：某数是6. 注意1.解应用题，最后必须写出答语 2,为了检验解题有没有错误，可以把求得的结果根据题意加以验算，看是否正确 从这里可以看出，用代数方法来解应用问题有这样一个方便，就是，如果用字母表示了问题中要求的量，那末根据所给的条件（就是题中的数量关系），可以写出与要求的量有关的一些代数式；再根据一个相等关系，就可以列出一个等式。例2.某班级学生合买一样纪念品，每人出6分，可以多4角8分：如果每人出5分，就不够3分，求这班级学生的人数. 【解]设这班级学生共有心人， 因为每人出6分，可以多4角8分，所以纪念品的价格是(6ax-48)分； 因为每人出5分，不够3分，所以纪念品的价格也是(5x+3)分. 因为这样纪念品的价格是一定的，两种计算方法应该相等，所以 6w-48=5x+3, 解这个方程， 6x-5x=3+48, ..w=51. 检验每人出6分，那末纪念品的价格是1×6一48=258分，就是2.58元；每人出5分，那末纪念品的价格是51×6+3=258分，就是2.58元，恰好相等.所以c=51是本题的解。 答：这班级学生共有51人， ==========第39页========== 说明本题中计算纪念品价格时有两种单位，必须化成同一单位，这里为了计算方便起见，避免出现小数，都化成分，得到整数 例3.有两个汽车运输队，第一队有汽车90辆，第二队有汽车40辆.现在两队有同样的运输任务，从第一队调多少辆汽车到第二队，两队汽车的辆数相等？ [解]设需要从第一队调x辆汽车到第二队. 第一队原来有90辆，调出心辆到第二队后，还剩(90一心)辆； 第二队原来有40辆，从第一队调来c辆后，就有(40+)辆。 因为经过调动后，两队汽车的辆数相等，所以 90一=40十心， 解这个方程， -2=-50, 2c=50, .x=25 检验第一队调出25辆，还剩90-25=65辆；第二队调进26辆，就有40+25=65辆，恰好相等. 答：从第-一队调25辆汽车到第二队，两队汽车的辆数相等说阴检验可以用心算，不必详知写出来、但是即使不要求写出，心算的检验还是十分必要的. 习题1·6(1) 1.如果从33里减去一个数的2倍就得到7，求这个数. 2.某数的5倍减去5等于这个数的4倍，求某数 3.一个数的8倍加上10等于它的10倍减去8，求这个数。 4.某数的3倍减去9等于它的3加上6，求某数。 ·32· 、活 ==========第40页========== 5.某数与4的和的平方等于某数与6的差的平方，求某数 6.一个数与4的平方和等于这个数与2的和的平方，求这个数 7.某机器制造厂，今年平均每月生产抽水机80台，比去年平均每月产量的1.5倍少13台.去年平均每月生产多少台？ 8.一块长方形场地的周围共长180米.已知这块场地的宽是40米，求这块场地的长， 9.甲工厂有某种原料120吨，乙工厂有同样原料96吨，现在每天甲厂用原料15吨，.乙厂用原料9吨，多少天以后，两厂剩下的原料相等？ 10.甲水槽里有水34升，乙水槽里有水8升，现在向两个水槽里灌的水，都是每分钟2升，多少分钟以后，甲槽里的水是乙植里的水的3倍？ 11..甲仓存粮32吨，乙仓存粮57吨.甲仓每天存入4吨，乙仓每天存入9吨.几天以后，乙仓的存粮是甲仓的2倍？ 例4.一队学生，参加学农，用每小时4公里的速度步行前去.出发20分钟后，学校有紧要事情需告诉队长、通讯员骑自行车用每小时14公里的速度追上去，通讯员要多少小时才能追上学生队伍？ 【解]设通讯员追上学生队伍需要心小时.那末，通讯员每小时走14公里，x小时共走14x公里；学生队伍每小时 走4公里，一共走了(C+小时，走了4(0+）公里. 因为追上学生队伍的时候，通讯员所走的路程和学生队伍所走的路程相等，所以 14=40+) 14公里 道项 4策公里一十 4x끓公 详生除位 图11 ·33· ==========第41页========== 解这个方程， 7=2+2, 5x=2 3 2 。=15· 答：通讯员需要2 5小时，就是8分钟才能追上学生队伍. 说明1.本题中，步行的速度与自行车的速度都是每小时若干公里，而已知的时间却是20分钟，所以解题时必须化成同一单位。因此， 把20分钟化成0小时. 2.为了清楚地看出题中的数量关系，利用图来表示（图11），可以帮助我们分析理解，列出方程。这是分析应用题时一种常用的方法。例5..一块农田要整地，由甲小队独做，3小时可以完成，乙小队独做6小时可以完成，两小队合做，几小时可以完成？ [解]设两小队合做：小时完成. 甲小队独做，3小时完成全部工作，那末每小时做全部工 作的是，所以。小时微了全部工作的君 乙小队独做，6小时完成全部工作，那末每小时做全部工 作的司，所以x小时做了全部工作的言：， 因为两小队合做：小时，全部工作完成，所以 解这个方程， 2心+x=6, 。34· ==========第42页========== 3化=6，∴。 c=2. 答：两小队合做，2小时完成 说明全部工作是一件完整的工程，看做是1.因此，甲小队每小 时微了全部工作的分，以后类似这样的工程问题，都可以把全部工程 作为1. 例6.有两个宣传队，第一队有32个人，第二队有19个人.能不能从第一队调几个人到第二队，使两队的人数相等？ 【解]设从第一队调心个人到第二队.那末，第一队调出心个人后，还剩(32一)人；第二队调来心个人后，就有(19+x)人，因为经过调动后，两队人数相等，所以 32一心=19+心. 解这个方程， -2心=-13， =13=6 2 验算后，知道6号是所列方程的解。 但是人数不可银是分数，现在-6受就不符合实际意义.因此，-6受虽然是所列出的方程的解，而对实际问题 讲，就没有意义，所以这个应用题没有解。也就是说，不论从第一队调多少人到第二队，两队的人数总不会相等. 通过这个例题，我们可以理解到：列出方程来解应用题的时候，从方程所求得的解不一定都符合应用题的要求，我们必 ●36· ==========第43页========== 须根据实际意义来判定这个应用题有解还是没有解 列方程解应用题，应该检查求得的未知数的值是不是合理，如果合理，就写出答语，如果不合理，就说明应用题没有解。 从上面所讲的六个例子，我们可以看到，列出一元一次方程来解应用题的一般步骤是 (1)仔细看清题意，看哪些是已知数，哪些是未知数，它们之间有什么关系. ()选择一个适当的未知数，用字母x(也可以用其他字母)来表示它.根据题目里所说的已知数与未知数之间的关系，用心的代数式来表示其他的未知数 (i)利用（ⅱ）中没有用过的等量关系，列出方程(v)解所得的方程，求出未知数的值，并且进行验算.(ⅴ）根据方程的根，得出题目里所求的未知数的值，并且检查求得的值是不是合理，如果合理，就写出答语，如果不合理，就说明应用题没有解、 习题1·6(2) 1.一条街长1670米，甲、乙两个学生从街的两头同时相向而行，甲骑自行车每小时走21公里，乙步行，经过4分钟后两人相遇，求乙每小时步行多少公里 2.有一架飞机，最多能在空中连续飞行4小时，飞出时候的速度是每小时600公里，飞回时候的速度是每小时550公里，这架飞机最远飞出多少公里就应该飞回来？ 3.两辆卡车装运棉花从产地开往仓库。第一辆卡车的速度是每小时40公里，开出半小时后，第二辆卡车也从产地开出，它的速度是每小时50公里，结果两车同时到达仓库.求产地和仓库间的距离 4.有甲、乙两个整数，甲数比乙数的3倍多1，已知甲数是26，乙 086· ==========第44页========== 数是多少？ [提示：注意甲、乙两数都是整数；如果求出的结果不是整数，应该仔细考虑.] 5.初中-一年级甲、乙两班，甲班有44人，乙班有49人.在劳动时，为了使两班人数相等，乙班应该调多少人到甲班去？ 6.一个正数的3倍加上16等于4.求这个正数[提示：注意这个数是正数.] 7.一件工程，甲队单独做10天可以完成，乙队单独做15天可以完成：两队合做，多少天可以完成？ 8.某工厂在上半年增产168万元，超过原定增产计刘的号.这个 工厂上半年计划增产多少元？ [提示：本题应该用万元为单位，这样可使计算简便.丁 9.有一个数，减去它的日与号之后，剩下的数是90.求这个数. 10.某池塘用三台抽水机抽水，单用第一台抽水机，3天就可以全部抽完，单用第二台抽水机，就需要4天，单用第三台抽水机，需要6天。如果三台同时用，几天可以全部抽完？ [提示：三台抽水机单独使用，每天分别抽去全他塘的分，是，合] 11.一人骑自行车从甲人民公社去乙人民公社联系工作，工作1小时，然后步行回甲社，他来回连工作共花5小时.自行车每小时走12公里，步行每小时走5公里，问甲人民公社距乙人民公社几公里？ 上面几个应用题里，所求的未知数都只有一个，所以设这个未知数后，就可以列出方程来.如果应用题里所求的未知数有两个或者多于两个，那术怎样设一个未知数，使得仍能列出一元一次方程呢？下面我们举例来说明. 例7.两个数的和是8，它们的差是2，求这两个数[解1设较大的数是心，那末由于两个数的和是8，所以较小的数是8一. 再根据题意，“它们的差是2”，可以得到 ·87◆ ==========第45页========== c一(8-c)=2. 解这个方程， 2c=10, .c=5. 较小的数是8一心，将所得的x值代入，得 8-心=8-5=3， 答：这两个数是5与3. 注这个问题也可以设较小的数是，那末较大的数是8一x。再利用差的关系，可以得到 (8-x)一x=2 解这个方程，同样可以求得两个数是5与3. 还可以设较大的数是，利用差的关系，那末较小的数是x一2。再利用和的关系列方程，得 x+(x一2)=8 也可以设较小的数是，利用差的关系，那末较大的数是x+2,再利用和的关系列方程，得 (x+2)+x=8. 解这两个方程，都可以求得两个数是5与3。 从上面这个例子，我们可以看到： 列一元方程来解应用题，如果题目中所求的未知数多于 一个，则可用一个字母表示其中任何一个未知数，根据题中的条件，用这个字母的代数式来表示其他的未知数，然后，再根据题中的另外条件，列出方程 例8.汽车若干辆装运货物一批。每辆装3.5吨，这批货物就有2吨不能运走；每辆装4吨，那末装完这批货物后，还可以装其他货物1吨.汽车有多少辆？这批货物有多少吨？ [解]设汽车有心辆。 ·38◆ ==========第46页========== 按每辆装3.5吨计算，心辆汽车能装3.5c吨货物，这批货物就是(3.5c+2)吨；如果按每辆装4吨计算，心辆汽车可以装4吨，但是装了其他货物1吨，所以这批货物就是(4-1)吨. 因为3.5x+2和4x一1都表示这批货物的吨数，应该相等的，所以 3.6x+2=4x-1。 解这个方程， -0.5a=-3, .x=6. 代入4-1，得 4x-1=24-1=23. 答：汽车有6辆，这批货物有23吨。， 注·也可以设这批货物有x吨.那末，如果按每辆装3.5吨计算， 六车就有号辆如果按每辆装4吨计算，汽车就有二牛辆。所以 列出方程是 女-2=+1 3.5-4- 虽然这应用题的解是一样的，但是这样列方程比较麻烦，解这个方程比较复杂，计算的时候也比较困难， 从这个例子，我们可以看到： 利用一元方程解应用题的时候，如果题目中的未知数多于一个，用字母表示哪一个未知数，就要看列方程是否容易，列出的方程是否简单，计算的时候是否简便来决定 例9。地球上水面的面积约等于陆地面积的2努倍； 地球的表面积约等于5.1亿平方公里，求地球上水面和陆地 ==========第47页========== 的面积各是多少. [解】设地球上陆地的面积是x平方公里.那末，水 面的面积是2号：平方公里：陆地和水面的总面积是(+2受)平方公里. 因为陆地和水面的总面积就是地球的表面积610000000平方公里，所以 +21 29x=510000000, 100 29=510000000, .∴.花=147900000 那末 213 229x=362100000. 答：地球上水面面积是362100000平方公 里，约3.6亿平方公里；陆地面积是147900000平方公里，约1.5亿平方公里 注这个问题中，如果我们设水面面积是x平方公里，那未陆地面积就是2日平方公里这样列出的方程是 29 2-=510000000, 29 但是列出这个方程和解这个方程就都比较麻烦。 习题16(3) 1.甲、乙两数的和是10，甲数的2倍等于乙数的3倍，求这两个数。 2.买甲、乙两种笔记本共20本，共用4.8元。甲种本每本0.3元， ·40● ==========第48页========== 乙种本每本0.2元，两种笔记本各买了多少？ 3.某班师生自制教具，一共做得数学和物理教具144件，其中数 学教具是物理教具的子，问数学和物理教具各有多少件？ 4.(1)某幼儿园买大小凳子16张，一共44元.大的每张5元，小的每张2元，大小凳子各买多少张？ (2)买大小凳子15张，一共44元.大的每张5元，小的每张2元，大小凳子各买多少张？ 5.长江比黄河长955公里，长江和黄河共长10645公里，长江和黄河各长多少公里？ 6.某果园原种有桃树和李树共25棵，现在计划再种桃树9棵，李树5.棵，那末桃树就比李树多17棵。原来桃树和李树各有多少棵？ 7.第一个正方形的边长比第二个多10厘米，它的面积比第二个多400平方厘米，两个正方形的边长各是多少？ 8.煤油连桶重8公斤，从桶中用去了一半煤油以后，连桶重4.5公斤.煤油和空桶各重多少公厅？ 9.在155米的长度内装设25根水管，一部分水管每根长5米，另 一部分每根长8米，两种水管各要多少根？ 10.有货物一批，共重39吨，由载重6吨和7.5吨的驳船一次运走。已知载重6吨比载重7.5吨的驳船多2只，两种驳船各有多少只？ 11.用化肥若千斤给一块麦田追肥，每亩用6斤，还差17斤，每亩用5斤，就多3斤.这块麦田有多少亩？用化肥多少斤？ 12.一个工人接到加工一批零件的任务，要求在规定时间内完成。他打算每小时做10个，就可以超过任务3个，每小时做11个，就可以提前1小时完成.他加工的零件是多少个？规定多少小时完成？ 13.三个数的平均数是8.6。其中第一个数是9.1，第二个数比第 一个数小0.8，求第三个数 14.用两架掘土机掘土，第一架掘土机比第二架掘土机每小时多掘土40立方米.第一架工作16小时，第二架工作24小时，共掘土8640立方米。每架掘土机每小时可以掘土多少？ 15.两个水池共贮水30吨，现在甲池用去水8吨，乙池注进水10吨，这样，甲池的水就比乙池的水少12吨.原来两个水池各有水多少吨？ 041● ==========第49页========== 16。一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽抽的是，在第二次旅程中用去余下的汽油的弓，这样油箱里还剩汽泊6升.油箱星原来有 汽油多少升？ 17.一条铁丝，第一次用去了它的一半少1米，第二次用去了剩下的一半多1米，结果还剩2.5米.这条铁丝原有多少长？ 例10.甲、乙两车站相距159公里.一列慢车以每小时36公里的速度从甲站开往乙站.出发后1小时，一列快车以每小时46公里的速度从乙站开往甲站.快车开出几小时后才与慢车相遇？ 【解)设快车开出c小时后与慢车相遇.那未快车从开出到与慢车相遇走了46心公里；慢车从开出到与快车相遇共走了(1+)小时，所以它共走了36(1+)公里 -169公里- 印 乙 86(1+)公里- +一46g公里 图12 因为两列车子相向而行，到相遇时它们所走的路程的和就是甲、乙两车站间的距离（图12），所以 46x+36(1+)=159, 解这个方程， 46x+36+36x=159, 82c=123, ∴.x=1.5. 答：快车开出1.5小时后与馒车相遇. 例11.某体育场的一条环行跑道长400米，甲练习长跑，平均每分钟跑250米，乙练习自行车，平均每分钟走550 ◆42● ==========第50页========== 米。两人同时从同地同向出发，经过多少分钟后两人又相遇？ [解]设经过：分钟后两人又相遇.那末两人相遇时，甲走了250a心米，乙走了550x米. 因为两人从出发后到再相遇，乙必须比甲多走一圈的路程（图13），就是乙比甲多走400米.这就是说，乙所走的路程比甲所走的路程多400米，所以 甲 乙 图13 550x-250x=400. 解这个方程， 300c=400, 意-哈 答：经过1号分钟后两人又相遇. 习题16(4) 1.甲、乙两人骑自行车，同时从相距45公里的两地相向而行，2小时后相遇。已知甲比乙每小时多走2,5公里，甲、乙两人每小时各走多少公里？ ·43。 ==========第51页========== 2.甲、乙两人练习短距离赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米 (1)如果甲让乙先跑5米，几秒钟后可以追及乙？ (2)如果甲让乙先跑1秒钟.几秒钟后可以追及乙？ 3.某市举行环城自行车竞赛，最快的人在出发后35分钟遇到最 慢的人.已知最慢的人的速度是最快的人的速度的，环城一周是6公 里，两人的速度各是多少？ 4.甲、乙两个运动员在田径场竞走，环跑道一周是400米，乙的速 度平均每分钟80米，甲的速度是乙的1昼、现在甲在乙的前面100 米，多少分钟以后两人才能相遇？ 5.一个通讯员骑自行车在规定时间内把信件送到某地.他每小时走15公里，可以早到24分钟；如果每小时走12公里，就要迟到15分钟.原定的时间是多少？他去某地的路程有多远？ 6.工人甲接到做120个零件的任务，工作1小时后，因为要提前完成，调来工人乙与甲合作，再做3小时就完成.已知乙每小时比甲能多做5个零件，求甲、乙两工人每小时各做多少个零件. 例12.某化学实验室有两种不同浓度的酒精，甲种的浓度是90%，乙种的浓度是76%.现在要配成浓度是85%的酒精12升，两种酒精应该各取多少升？ 【解]设甲种酒精取心升，那末乙种酒精取(12一x)升. 在：升浓度是0%的酒精里，含有纯酒精04升： 在(12-)升浓度是76%的酒精里，含有纯酒精 品12-开，7 85 在12升浓度是85%的酒精里，含有纯酒精×12升. 因为甲、乙两种酒精里所含纯酒精的总量，应该等于浓度是85%的12升酒精里所含纯酒精的量，所以 ·44● ==========第52页========== 90 85 %w+612-别- 100 ×12 解这个方程， 90x+900-75e=1020, 15x=120, ∴.w=8。 代入12-c,得 12一c=12-8=4 答：甲种酒精应取8升，乙种酒精应取4升。 习题1·6(5) 1.有含盐20%的盐水150公斤，要使盐水含盐5%，需要加水多少公斤？ 2.有700克含碘15%的碘酒（碘溶解在酒精里就成碘酒），应该加入多少克纯酒精，才能得到含碘2%的碘酒？ 3.有含药85%的农药5斤，应该加入多少斤水，才能配成含药2%的农药？ 4.有银和铜的合金200克，其中含银2份，含铜3份.现在要改变合金的成分，使它成为含银3份，含铜7份，应该再加入铜多少？ [提示：合银2份，含铜3份，就是合金里号是银，号是铜] 5.某数学学习小组原来女同学的人数占全组人数的百，后来加入了4个女同学，女同学的人数就占全组人数的号，问该小组原来有多 少个同学？ 6,有两种合金，第一种含金90%，第二种含金80%.现在要制成含金82.5%的合金240克，应该每种各取多少克？ 7.甲种铁矿石含铁的百分数是乙种铁矿石含铁的百分数的1.5倍.甲种矿石5份与乙种矿石3份混合成的矿石含铁52.5%，求各种矿石含铁的百分数。 045· ==========第53页========== 8。金放在水里称，要减轻本身重登的是，银改在水里称，要减轻本身重量的0.一块金和银的合金重530克，在水里称减轻重量35 克.这块合金里含有金和银各多少克？ 例13.一艘轮船在甲、乙两地之间航行，顺流行驶需要4小时，逆流行驶需要5小时.已知水流的速度是每小时2公里，求两地之间的距离. 分析要解这个题目，首先要理解顺流里航行的速度，逆流里航行的速度，静水里航行的速度和水流的速度之间的关系。就是说，顺流里航行的速度是静水里航行的速度加上水流的速度，逆流里航行的速度是静水里航行的速度减去水流的速度， 现在用两种方法来解这个题目. 【解1]设甲、乙两地之间的距离是公里.那末： 顺流里的速度是每小时平公里，已知水流的速度是每小时2公里，所以静水里的速度是每小时（行-2）公里：逆流里的速度是每小时号公里，水流速度是每小时2公里，所以静水里的速度是每小时（号+2）公里。 因为静水里的速度是相同的，所以 2-품+2 5心-40=4+40， ..心=80 答：甲、乙两地之间的距离是80公里， 【解2】设轮船在静水里航行的速度是每小时：公里.那末 ·46● ==========第54页========== 顺流里航行的速度是每小时(+2)公里；逆流里航行的速度是每小时(w一2)公里；顺流航行4小时，共走4(c+2)公里；逆流航行5小时，共走5(c一2)公里因为甲、乙两地之间的距离是一定的，所以 4(c+2)=5(c-2). 4c+8=5c-10, =-18, ..x=18. 用x=18代入4（心+2），得 4(c+2)=4×20=80. 答：甲、乙两地之间的距离是80公里， 从这个例子的两种解法，我们可以看到： 在列方程解应用题时，有时不直接设心表示题中所要求的未知数，而可间接设如表示题中另外一个未知数，通过这个未知数的值再求出题中所要求的结果. 应用这种方法，有时比较容易列出方程，解出结果来例14.一个两位数，它的十位上的数比个位上的数小 3,十位上的数与个位上的数的和等于这个两位数的子，求这 个两位数 [解】设十位上的数是心，那末，个位上的数是如+3，这个两位数是10c十(c+3),十位上的数与个位上的数的和是x+(c+3). 根据题意，得 +c+3)=是10r+e+8)]. 47 ==========第55页========== 解这个方程， 2c+3=是1u+8), 8x+12≈11x-+3, -3a=-9, .c=3. 代入心+3，得 +3=3+3=6, 答：这个两位数是36 说明用代数式表示两位数要特别注意.例如，两位数54，实际上表示5×10+4，因为十位上的数1，就表示10,2表示20等等.一般地说，如果十位上的数是a,个位上的数是b,那末这个两位数是10a+b,不能写成ab的形式.因为代数式ab只表示&与b的乘积，它和10a+b所表示的意义是绝然不同的.决不能因为两位数54写成“54”的形式而产生误会. 同样，如果有一个三位数，它的百位上的数是x,十位上的数是y,个位上的数是，那末，这个三位数应该写成100x+10y+2. 在这个问题里，如果直接设所求的两位数是￠，显然，就不好列式.因此，我们才设十位上的数是. 本题也可以设个位上的数是心，解法由读者自行完成，例15.已知长方形的周长是30厘米，长比宽多3厘米，求这长方形的面积 分析这个题目，如果用x来表示长方形的面积，列式就比较困难.但是我们知道，如果知道了长方形的长和宽，就可以计算出它的面积，所以可以设长方形的宽是x厘米. 【解]设长方形的宽是心厘米，那末它的长是(c+3)厘米. 因为长方形的周长等于2[c+(c+3)]厘米，所以 ·48· ==========第56页========== 2[+(c+3)]=30. 解这个方程， 2x+3=15, 2c=12, ‘.花=6 所以 G+3=9, c(c+3)=6×9=54. 答：长方形的面积是54平方厘米. 说明要注意面积单位和长度单位的写法.例如，本题的面积应该用“平方厘米”表示，不要错误地写成“厘米”. 例16.一个爱国卫生检查工作组共有成员30人，根据任务的大小，要分成三个小队，使甲、乙、丙三小队的人数的比是2：3：5，求各小队的人数 分析这个题目要求三个未知数，如果我们用字母x来表示其中 一个小队的人数，用的代数式来表示其余两小队的人数，就比较麻烦。我们知道，2：3：5是从甲小队人数：乙小队人数：丙小队人数中约去 三个小队人数的最大公约数得到的，所以我们可以用x表示这个最大公约数.这样，三个小队的人数就分别是2x,3x,5x,那末列方程就比较容易了. [解]设三个小队人数的最大公约数是G。那末，甲队 有2c人，乙队有3人，丙队有5x人.因为全组的人数是30人，所以 2c+3x+5x=30, 解这个方程， 10x=30, ..=3。 所以 2m=6;3c=9;5x=15. 答：甲队有6人，乙队有9人丙队有15人. ·49 ==========第57页========== 习题16(6) 1.一艘轮船，航行于甲、乙两地之间，顺水要3小时，逆水要3.5小时，已知轮船在静水里航行的速度是每小时26公里，求水流的速度. 2.三个连续整数的和是15，它们的积是多少？ [提示：象2,3,4或者7,8,9等就是三个连续整数.连续整数的特点是相邻两个数的差等于1.] 3.一个两位数的十位上的数是个位上的数的2倍，如果把十位上的数和个位上的数对调，那末得到的数就比原数小36.求原来的两位数. 4.一个三位数，个位上的数，十位上的数与百位上的数的和是15，百位上的数比十位上的数多5，个位上的数是十位上的数的3倍.求这个三位数. 5.三个连续偶数的和比其中最大的一个大10，这三个连续偶数的和等于多少？ [提示：象2,4,6或者8,10,12就是三个连续偶数.连续偶数的特点是相邻两个数的差等于2，并且每个数都能被2整除.] 6.长方形的长是宽的2倍.如果宽增加3厘米，那末长方形的面积就增加24平方厘米.这个长方形原来的面积是多少？ 7.如果一介长方形的长减少4厘米，而宽增加7厘米，就成了一个正方形，并且这个正方形的面积比长方形的面积大100平方厘米.求这个长方形的长和宽 8.因加工需要在长方形铁板的中央开一个正方形的口，口一边的长比铁板的长少8厘米，比铁板的宽少3厘米，这样，铁板的面积就剩 x+3 r+8 (第8题) ·50· ==========第58页========== 特 下68平方厘米.求原来铁板的面积 9。收割一块麦地，每小时收割4亩，预计若干小时完成.收割了 号以后，改用新式衣具，工作效来提高到原来的1号倍，因比比预定时 间提早1小时完成。这块麦地的面积是多少？ 10:把面积是16亩的土地分成两部分，试种两种新品种的小麦：要使两部分面积的比等于3：5，求每一部分的面积 11.有一种绝热的泥料，它的组成物石棉丝、耐火粘土、细磨热料的重量的比是3：7：10，现在要配成3000公斤的绝热泥料，三种原料各需要多少公斤？ §17分式方程 1。分式方程的意义我们来看下面这个问题： 某人民公社生产队收割全部夏收作物，共需要12天.由于学生下乡参加夏收，和社员一起劳动，结果只用了8天全部收割完毕。问学生单独去完成这项夏收任务需要几天？设学生单独劳动需要心天才能完成，那末每天能完成全 帝任务的是 3 社员单独劳动要1卫天，所以每天能完成任务的立 现在学生和社员一起劳动只需8天，·所以每天能完成任 多的是 根据题意，可以列出方程： +는 这个方程，分母中含有未知数，和我们前面所学过的方程不同。 ==========第59页========== 分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。例如，；=2，山一 3,1ー1ー『~1+ 2。可以化为一元一次方程来解的分式方程的解法有些分式方程，只要把方程的两边都乘以同一个含有未知数的整式，就能变形成为一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程，就可以找到原来分式方程的解。下面我们举例来说明 例1.解上面问题中的方程： 공+- 【解]因为各分式的最简公分母是24，所以方程两边都乘以24，使它变形成为整式方程，得 24+2c=3w。 解这个整式方程， ー=-24， .=24. 检验把=24代入原方程： 左边-京+品号-有边， ·.心=24是原方程的根 说明检验时，必须把求得的x的值代入原分式方程，不能代入变形后所得的整式方程， 例2.解下列方程： 51 ー1c+3 【解】方程两边都乘以(-1)(+3)，得 5(+3)=x1. 52· ==========第60页========== 解这个方程， 5+15=c-1, 4w=-16,∴。 a=-4 检验把心=一4代入原方程：、 左边ー--1，5 1 右边=一4十3-1，左边=右边， =一4是原方程的根 习题17(1) 解下列各方程： 1. 亚-5 2.7m。-8=0 x+2 3.1-1=5-2 4.2. 您一4然-4° 化+2 2一=3。 2+$ 5. x-2x· 6. x-2 ”6=-6 7.9· 2 2y-了= 8.型+1=y-5 3y+10· y-1y-3· 9.9x-74x-5 30-22-5≈1 10.6x-14ax-7 3x+2 2x-5=0。 例3.解下列方程： )。1+27-岛 1 心-3 q-3i (②r-3十2二 -3◆ 解1（①）方程两边都乘以心一B,得 1+2(c-3)=7-心， 解这个方程， 3ac=12, ==========第61页========== 。=4, 检验把心=4代入原方程： 左边=1 4-3+2=3, -는-3 ,”左边=右边， .、=4是原方程的根 (2)方程两边都乘以x-3,得 1+2(心-3)=4-. 解这个方程，得 优=3. 如架把：=3代入原方程，分式。写和手二音的分手都心-3 等于零，这些分式就没有意义，所以心一3不是原方程的根，也就是说，原方程没有根 这是怎么一回事呢？难道我们的解法有错误吗？不，解法没有错误。下面就来研究这个问题. 我们把(1)、（②）两题来对比一下，在第（①）题中，把c=4代入变形后的方程1+2(c一3)=7-心，两边是相等的；把=4代入原方程中，两边也是相等的.因此，c=4既是原方程的根，也是变形后的方程的根.但是在第(2)题中，把心=3代入变形后的方程1+2（一3）=4一c,两边是相等的，所以心=3是变形后的方程的根.而把心=3代入原方程，分式就没有意义，所以心=3不是原方程的根.·这个事实告诉我们，方程的两边都乘以同一个含有未知数的整式，有时所得的整式方程的根就是原方程的根，而有时所得的根却不是原方程的根 054● ==========第62页========== 这种解变形后的方程得出来的不适合于原方程的根，叫做增根 为什么会产生增根呢？先来看第（①）题.在去分母的时候，我们是用整式：一3去乘原方程的两边.因为在心=4的时候，整式：一3不等于零，也就是说，我们只是用不等于零的同一个数去乘方程的两边，根据方程的第二个基本性质，所得的方程和原方程是同解方程，所以所得的方程的根和原方程的根完全一样。但是，在第(2)题中，我们用来乘原方程两边的，虽然也是整式x一3，但由于当心=3时，心一3=0，所以实际上是用0去乘原方程的两边，因此，变形后的方程和原方程的根就不一样。心=3只是变形后的方程的根，不是原方程的根，这样就产生了增根 从上面所说的，我们可以看到： 如果方程的两边都乘以同一个整式，就可能产生增根因此，在解分式方程的时候，我们必须把解变形后的方程所得的根代入原方程，进行检验。如果适合的，才是原方程的根；如果不适合的，就是增根，应该把它去掉。 从上面所说的可以知道，凡是把求得的根代入原方程时，使分式的分母等于零的，这个根就是增根.因此，检验时为了简便起见，也可以把求得的根代入方程两边所乘的整式中去检验：只要在解的过程中不发生错误，那末如果它的值不是零，所得的根，就是原方程的根；如果它的值等于零，所得的根，就是增根 例4，解方程： 135 1ーー1ーGー1+・ 【解]因为各分式的最简公分母是1-，所以方程的 ==========第63页========== 两边都乘以1一心2，得 1=3(1+c)-5(1-x). 解这个方程， 1=3+3-5+5m, -8xm-3, 8· 因为把-号代入整式1-，所得的值不等于学，所以号是原方程的很 从上面三个例子可以得到解分式方程的一般步骤： (1)用，个适当的整式（通常取各分式的最衡公分母）乘方程的两边，使它变形成为，个整式方程。(五)解所得的整式方程 ()把所求得的根进行检验。如果适合的，就是原方程的根；如果不适合，就是增根，应该去掉。例5，解方程： 8+6-+5=0. すa-1~(-1) 解】两边都乘以分式的最简公分母心（心一1），得 3(c-1)+6G-(c+)=0. 解这个整式方程， 8c-8=0, ∴.心-1. 检验把心=1代入心(c一1)，它的值等于0，所以心=1不是原方程的根。 。原方程没有根。 ==========第64页========== 例6。解方程： 1+、6=+4 -3c-8 【解剁两边都乘以心-3，得 花-3+5=0十4， 就是 0c=2。 因为不论心是任何值，都不熊能使方程0心=2成立，所以原方程没有根。 习题17(2) 解下列各方程(1~11)： 1. 4--3。 然+22+x2.10c ·5 2m+1-”2a-8. 8.2y+51=5y-4` 3y-6-z=2y-4· 1 6 x+1+ニ+1)(G-・ 6.+}- 3x-1-1-9x· .+는+-。 、 1-公 7.3 2 5 1アニ1+2y+gエ-2+F 3. 6+%금-금 1 2 ·3 0. 2-+マ-6+*g 0.1-2 61 7 8 37-9x 1.-ェ+ー2+1*2+1 [提示：第4题到第11题中，先要把分母分解因式，再求出分式的最简公分母.如第11题中，x3-心2-G+1=2(x-1)一(-1)(-1)(x2-1)=(-1)2(x+1).] ==========第65页========== .)是什么数值时，代数式品+品己 +1=一的值是零； ②工是什么数值助代数式。+号和号的值相等。 3。含有字母系数的分式方程的解法解含有字母系数的分式方程的步骤和解数字系数的分式方程的步骤一样，但是要注意这些字母可以取的值有什么限制.下面举例来说明.例7.解关于心的方程： +을-공+을a (a≠0，b≠0，g≠b) 【解1两边都乘以ab心，得 b心十a2b=aac+ab2. 解这个整式方程， ba-ax=ab2-a26, (b-a)a=ab(6-a). 因为a+b,b-a≠0，两边都除以b-a,得 a=ab. 检验把心=ab代入整式abc,.得到ab3.因为+0，b+0,所以a2b2+0. ∴.心=ab是原方程的根。 例8.解关于心的方程： ++花十a 龙+b、=g+b a(a+a)ab (a≠0，b≠0，a≠b). [解]两边都乘以最简公分母ab(+a)(c+),得a(+a)+b(c+b)2=(a+b)(c十a)(十b).整理后，得 (a2-2a6+62)x=a26+a82-a3-88 458● ==========第66页========== (a-b)2x=a2(b-a)+2(a-b),(a-b)x=(a-b)(b2-a2),(a-b)x=-(a-)2(a+b). 因为a-b≠0，那末(a-b)≠0，两边都除以(a-b)3,得 c=-(a+b). 检验把c=一(a+b)代入整式ab(c+a)(c+b),它不等于零。 '.=一(+b)是原方程的根. 习题17(3) 解下列关于x的方程(1~5)： -号+1(b+0,a+b+0). 1. 2.+m++n=2(m十%≠0，m+。 化一px--m 8. a? +2a“x-2a=4a-2,(a+0). 23 4. -2ax+aaーーa,(a+0). 6.-》-1-2-2）(a3++0).6、已如牛格-用a.6A成米表示：a华.收已知层-子+，准号出=口 1+ 1 §1·8列出分式方程来解应用题 在§16里，我们已经学过列出一元一次方程来解应用题.在实际问题中，有时列出的方程往往不是整式方程，而是 0899 ==========第67页========== 分式方程，那就得应用分式方程来解。 ··下面我们看儿个例子： 例1.某农具新购一台自动化机床用自动化机床与旧机床同时加工一批零件，共花了4.5小时，已知旧机床单独工作需要18小时才能完成任务，自动化机床单独工作需要几小时能完成？自动化机床的效率是旧机床的几倍？ [解]设自动化机床单独工作，需要：小时才能完成任 务，郑末自动化机求每小时能完成任务的子. 因为旧机床单独工作，需要18小时才能完成任务，所以 它每小时能完成任务的高， 因为两台机床同时工作，需要4,6小时，所以每小时能完 成务的-승 根据题意，列得方程是 两边都乘以最简公分母18x,得 18十c=4. 解这个整式方程， -3c=-18, ’、心6. 把心=6代入整式18，它不等于0，所以心=6是原方程的根。 因为旧机床做同样的工作，需要18小时，所以自动化机床的效率是旧机床的3倍。 答：自动化机床单独工作，需要6小时才能完成任务；自动化机床的效率是旧机床的3倍。 eo7 ==========第68页========== 例2.一个能工加工1500个螺丝以后，由于改进了操作 方法和工具，工作效率提高到原来的2号借，因此再车150 个螺丝时，较前提早18小时完成.前后两种方法，每小时各加工多少个螺丝？ [解]设镟工以前每小时能加工：个螺丝，那末加工500个螺丝，器要1500小时. 改进躁作方达和工具后，根据愿恋，每小时能掘工2号×。 ：个螺丝，那末加工1500个螺丝，需要1600小时. 2 5 因为后一次比前一次提早18小时完成，所以得到方程 15001500 ， 0 一18. 2女 就是 1500。600=18, 、0 0 900=18, '.心=50 把心=50代入原方程，知道龙=0是原方程的根。 把0=0代入受，得 5 w=126 答：簸工原来每小时能加工50个螺丝；改进后，每小时能加工125个螺丝。 说明在解列出的方程时，先托”化碳·号-， ，这 ◆61：● ==========第69页========== 样，可以和分式1500有相同的分母，运算就可以简便 例3.某人民公社离城市0公里.甲乘自行车从公社出发进城，出发1小时30分钟后，乙乘摩托车也从公社出发进城，结果乙比甲先到1小时.已知乙的速度是甲的速度的 2.5倍，求甲、乙两人的速度. 【解]设甲的速度是每小时心公里，那末乙的速度是每小时2.5x公里； 因为公社离城市50公里，所以甲从公社到城需要50小时，乙从公社到城需要2· 50小时 因为甲早出发1小时30分钟（即1.5小时），并且迟到1小时，所以从公杜到城，甲比乙多花了(1.5+1)小时.因此，可以列出方程 0 50 心 +1.6+1. 2.5x 就是 50_2016 化. 两边都乘以2，得 100=40+5w, 解这个整式方程，得 G=12 把w=12代入2c,不等于0，所以心=12是原方程的根，把心=12代入2.5，得 2.6e=2.6×12=30, 答：甲的速度是每小时12公里，乙的速度是每小时30公里.说明注意把时间单位化成同一单位，所以1小时30分钟化成 1.5小时。 ·62● ==========第70页========== 例4.一件工程，甲单独做，要20天可以完成；乙单独做，需要24天；丙单独做，需要30天.如果三人合作，几天可以完成？ 【解1设三人合作，需要x天可以完成，那末，每天可以 完成全工程的品 甲每天可以完成全工程的易乙每天可以完成全工程 的1 24;丙每天可以完成全工程的1 30· 根据题意，得++る 11 就是 11 8 ..=8 检验后，知道G=8是原方程的根 答：三人合作，8天可以完成 说明司+是+品一岛各.先把这三个分数计算出来，可 1 以简便，不要方程两边同时去分母 习题1·8 1.一个车间加工720个零件，预计每天做48个，就能如期完成。现在要提前5天完成，每天应该做多少个？ 2、国营农场一块地，用一架拖拉机来耕，4天耕完一半，后来增添了一架新式的拖拉机，两架合作，1天就耕完了其余的一半.新式拖拉机单独耕这块地，需要几天？新式拖拉机的效率是原来拖拉机的几倍3、沿河有两个城市，相距180公里，乘船顺水航行，4小时可以到达，如果水流速度是每小时8公里，船在静水里每小时能行多少公里？逆水回来需要多少小时？ ==========第71页========== 4.轮船颗水航行72公里所需的时间和逆水杭行48公里所蒂的时间相同。已知水流速度是每小时2公里，求轮船在静水中的速度， 5.甲、乙两地相距80公里，一辆长途汽车从甲地开出3小时后，一辆小汽车也从甲地开出，结果小汽车比长途汽车迟20分钟到达乙地。已知小汽车和长途汽车的速度的比是3：1，求小汽车和长途汽车的速度. ~6.甲、乙两个车工，同时分别车1500个螺丝.乙改进了操作方法，生产效率提高到等于甲的3倍，因此比甲少用20个小时完工.他们每小时各车多少个螺丝？ 7.甲、乙两个生产队共同耕完一块土地需要4天.如果由一个队单独来耕，那末甲队靄要的天数等于乙队的2倍，求甲、乙两队单独耕完这块土地所需的天数. 8.一件工程要在计划的日期内完成。如果甲单独做，刚好能够完成.如果乙单独做，就要超过计划完成日期3天.现在由甲、乙两人合作2天后，剩下的工程由乙单独做，刚好在计划日期完成。计划的日期是几天？ [提示：计划日期的天数等于甲单独做所需的天数，.所以可设甲单独做完这工程所需的天数是：，那末乙单独做所需的天数是x十3.] 9.总价是36元的甲种零件和总价也是36元的乙种零件混合.合后所得的零件，每件比甲种的少0.3元，而比乙种的多0.2元.求甲种零件和乙种零件每件的价格： 10.一件工程，甲单独做，15天可以完成；乙单独做，12天可以竞成；甲、乙、丙三人合做，4天可以完成。丙单独做，几天可以完成？ 本章提要 1、几个量要的概念等式，恒等式，方程，方程的解，解方程，同解方程，整式方程，分式方程，增根. 2.方程的两个基本性质 ()方程的两边都加上（或者都减去）同一个数或者同一个整式所得的方程和原方程是同解方程； ==========第72页========== (②)方程的两边都乘以（或者都除以)不等于零的同一个数，所得的方程和原方程是同解方程. 3.一元一次方程的解法应用移项法则，并且合并同类项，把方程化简成ac=b的形式，再求出方程的解。 方程ac=b的解有三种情况： (当a+0时，方程有一个解名； (2)当a=0,b≠0时，方程没有解； (3)当a=0,b=0时，方程有无数个解 4.可以化为一元一次方程的分式方程的解法 (1)先把原方程变形成整式方程；(②)解所得的一元一次方程； (3)进行检验. 5.列方程解应用题的一般步骤(①)审题，要仔细阅读题目，分析题目； (②)设元和列出方程，要选择适当的未知数设元，再根据题意列出方程； (3)解方程，求出未知数的值； (4)检验并且写出答语. 复习题 1.(1)等式、恒等式和方程有什么区别？各举两个例子影(②)什么叫做方程的根？ 2.利用乘法公式，证明下列等式是恒等式： (1)(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+)=a8-影 [提示：先把开头两因式相乘，再依次与第三个、第四个因式相乘.] (2)(a+b)8(a-b)8=as-3a62+3a264-b8.[提示：(a+b)8(a-b)8-[(a+b)(a-b)门8.]： 3.举例说明同解方程的意义和方程的两个基本性质 4.判别下列各题中的两个方程是不是同解方程： (1)3x+5=76-1和(3x+5)+(2x+1)=(7x-1)+(2c+1)5 ◆65 ==========第73页========== 2)=4=y+2和3(g-4)=5(y+2). 5 3 5.解下列各方程： (1)3(x-7)-2{x+9-3[9-4(2-x)]}=22; 2)+32-2-능6 58 8y-是2y-10-1-20+g-3,因台-)-5-60+号-4到-2o照， 1+(1-x) (5) 1-3 一=1， 4 6.解下列各方程： (1)(—3)+(x-4)3=(ェ—2)3+（エ+3）3； (2)(4x+5)(4x-5)=4(2ac+3)2-(100x-17); (3)(c+5)8+(x-5)8=2(c+5)(x2-5x+25); (4)(2x2+3xc-1)(2ax2-3c+4)=(x-1)(4x2+1).?.解下列各方程： -+3-器。 四（+2z}+-2g°- 9 (3)'8-2-5==1--8+7i x-2 1-7ー0 (④6x+12-4 x ++4ー4+4+—4=0 [提示：先约简分式，再解方程.] 8.解下列各方程： ++ [解法举例：本题如果一开始就去分母，会得出很繁的方程，采用下面做法，可以简便。 ·66· ==========第74页========== 因为. -1-1 エ+7x+3 +3 g+5=1-1 m+6 十6’所以原方程可以写成2+1-1 11x+71、1 +3+1、】 x十69 就是 、11 1·1 +2x+7ー+3エ+6· 移项，得 1111 x+6x+7G+2-E+3 两边分别通分，得 1 2 ご+13+422+5+6 去分母，得 2+5x+6=x+13x+42,.x=- (②)-8-女-9=8+7-z+2x-3x-4x+8一x+3 +용+은+ x+5 9.解下列关于x的方程：1)+1+-1=_2a a+b+a-6=a6(a+0); (2)("+”）x="-n-2:(m+n+0); n m/ 第m (3)-2c-a2+2c=2(a-1) 2c+1-1-2c 4x2-1 10.解下列关于x的方程，并且加以讨论：(④+答=a+b; (②)m+8+2=女一n, m 列出方程解下列应用题(11~20)： 11.已知三个连续奇数的和等于45，求这三个数. 〔提示：象1,3,5或者11,13,15就是三个连续奇数.连续奇数 ·67· ==========第75页========== 的特点跟连续俩数的特点一样，相邻两个数的差是2，但每个数都不能被2整除.] 12.某学校的实习园地里收了青菜、甜菜和白菜，一共1800公斤，其中青菜是甜菜的5倍，而白菜比甜菜多120公斤.青菜、甜菜和白菜各收了多少公斤？ 13。某工厂第一个车间的人数比第二个车间的人数的青少30人， 如果从第二个车间调10个人到第一个车间，那末第一个车间的入数就 是第二个车间的人数的。求原来每个车间的人数。 14。一个施拉机队用指拉机耕一快地，第一天耕的比这块地的青多2公顷，第二天耕的比剩下的地的是多1公顷，这时还剩下33公顷 没有耕。这块地一共有多少公顷？ 说明1公顷=100公亩=15市亩.1公亩=100平方米. 15.要从含盐12.5%的盐水40公斤里蒸发掉水分，制出含盐20%的盐水来，应该蒸发掉多少水？ 16.第一个正方形一边的长比第二个正方形一边的长多3属米，而第一个正方形的面积比第二个正方形的面积多7平方厘米，求每个正方形的面积， 17.甲、乙两人，各走14公里，甲比乙快半小时；各走士小时已知甲与乙速度之比是8：7，求两个的速度。 18.一块地的播种工作，甲、乙两人合作，20小时可以做完。知甲与乙速度之比是5：4，甲、乙两人独做各需几小时？ 19.有甲、乙、丙三个数，依次小1，已知乙数的倒数与甲数的倒数的2倍的和，与丙数的倒数的3倍相等.求这三个数 20.一个车工小组，用普通切削法工作了6小时以后，改用薪的快 速切制法，再工作2小时，一共完成全部任务的司，已知新方法工作2 小时，可以完成普通方法工作4小时所完成的任务用这两种方法单独工作去完成全部任务，各需多少小时？ ==========第76页========== 第二章一元一次不等式 §21不等武 在第一章里，我们已经学过，用等号连结两个代数式所诚的式子，叫做等式。现在来斑究用不号“>”或者“<”连结两个代数式所成的式子 1。不等式的意义在代数第一册里，比较有理数大小的时候，我们用过 8>-1,0>-2.-12<一9，7之13 等来表示两个数之间的大小关系，为了表示两个代数式的催的大小，我们也可把这两个代数式用不等号“>”或“<”连结起来。例如， +1<8,g+5>a+1,元-2>7，<골等式子分别表示不等号左边的式子的值大或小子不等号右边的式子的值. 象这样，用不等号“>”或者“<”连结两个代数式所成的式子，叫做不等式。 2。绝对不等式和条件不等式在不等式a+》十1里，我们可以看到，不论4取任何数值，.这个不等式总是城立的、例如，a=3的时领，得到8>4a0的时候，得到6>1；a=一2的时候，可以得到3>-1. 但是，在不等式G一2>7里，我灯可以霜到，只有取大 ea ==========第77页========== 于9的数值，这个不等式才能够成立.例如，当：=10时，这个不等式成立；而当x=4时，这个不等式就不成立.这就是说，前一个不等式里字母可取的值不受任何限制，而后一个不等式里字母可取的值却受到数值范围的限制， 如果不论用什么数值代替不等式中的字母，它都能够成立，这样的不等式叫做绝对不等式.例如， c+7>x-1,a-20 等等，都是绝对不等式。 两边都是数字而能够成立的不等式，也叫做绝对不等式。例如， 7>2,3>0,·-5<-4 等，也都是绝对不等式 如果只有用某些数值范围内的数值代替不等式中的字母，它才能够成立，这样的不等式叫做条件不等式。例如， 3w>1,G+1>0,8题-5<号 等等，都是条件不等式 例1.判断下列不等式中，哪些是绝对不等式？哪些是条件不等式？为什么？ (1)2a+9>2a-3, (2)x+1>0 (3)2+1>0 (4)1-2<1513 (5).a>0. 【解1(1)因为不论a是什么数值，这个不等式总是成立，所以不等式2a+9>2a一3是绝对不等式. (②)因为心只有取大于一1的数值，这个不等式才能够成立，所以不等式c+1>0是条件不等式. (3)因为不论c是什么数值，心都不是负数，因此，2+1470 ==========第78页========== 的值总是大于零；这就是说，不论用什么数值代替不等式心2+1>0中的花，这个不等式都能够成立，所以不等式心2+1>0是绝对不等式 (4)因为1-2！=2,5引=5，而2一定小于5，所以不等式1-2<151是绝对不等式. (5)因为只有当a是正数或者负数时，|a>0,而当a=0时，a=0,不等式1a>0不成立，所以不等式a>0是条件不等式. 在条件不等式里，字母的可取值既然受到数值范围的限制，我们就有必要求出字母应该取什么范围内的数值，才能使这个不等式成立 在含有字母的不等式里，求出字母应该取什么范围内的数值，才能使不等式成立，叫做解不等式，这里的字母叫做不等式的未知数. 所求出的使不等式能够成立的未知数的数值范围，叫做不等式的解.例如在上面所举的例子中，不等式心+1>0的解是大于-1的数值；不等式2&+9>2a一3的解是任何数值.例2.通过观察，确定下列不等式的解： (1)e-2<0 (2)x2>0, [解](1)当x取小于2的任何数值，这个不等式才成立，所以不等式心一2<0的解是小于2的数值. (②)不论：是什么数值，x2都不是负数，只有当心等于零的时候，2等于零，所以不等式心>0的解是除去心=0以外的数值. 说明在一元一次方程中，我们说过，只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根.但是在不等式里，并没有这样的规定，只能说不等式的解。 ==========第79页========== 习题21 1.用不等号“>”或者“<”连结下列各题中的两个式子： (1)5和3； (②)-5和-3； (3)5和-3； (4)一5和3； (5)15和|31； (6)【-51和1-31； (7)1-51和3； (8)-5和1-31； (9)x+7和+2； (10)2a→5和2a-9; (11)2-3和2c+1; (12)3a-2和3a+11 2.(1)(+2)2>0是不是绝对不等式？为什么？[提示：要考虑花=一2时，结果怎样？] (2)为什么说，{a+1>0是绝对不等式？ 3.判断下列不等式中，哪些是绝对不等式？哪些是条件不等式？为什么？ (1)5a-8<5a+2; (2)-a+7>-a+35 (3)3a2+2>0; (4)x-1<0; (5)-2-1<0; (6)2x-4>0; （7-3x>5; (8)1-이이。 4.通过观，确定下列不等式的解： (1)x-5>0; (2)第-5<0； (3)x+7<0; (4)x+7>0; (5)+3>0; (6)(c+3)2>0, §2•2不等式的性质 在解方程的时候，要根据方程的两个基本性质进行变形，求得方程的解。同样，为了解不等式，我们先来研究不等式的某些重要性质、 1,不等式的两边加上相同的数不等式5>2是永远成立的.如果在不等式5>2的两边都加上6，那末左边的值是 。72。 ==========第80页========== 5+6=11,右边的值是2+6=8.因为11>8，所以5+>2+6. 如果在不等式5>2的两边都加上一7（也就是减去），那末不等式两边的值分别是-2和-5.因为-2>-5，所以 5+(-7)>2+(-7）. 从这个事实可以看到，在不等式的两边不论加上同一个正数或者同一个负数，不等式仍能成立. 一般地说：如果a>b,那未a+c>b+c.这就是：性质1.在不等式的两边加上同，个数或者同，个整式，不等式仍旧成立. 说明因为某数加上c就等于某数减去（一c),某数加上（一c)就等于减去·，所以这个性质也可以说成：在不等式的两边加上（或者减去)同一个数或者同一个整式，不等式仍旧成立. 例1.在下列不等式的两边各加上指定的数（或者整式），会得到怎样的不等式？:(1)8-b>0,加上b; (2)G+3<0,减去3 解)根据不等式的性质1，可跌得到 (1)a-b+b>0+b,∴.>5. (2)G+8-3<0-3,∴.G<-3 从上面这个例子可以看到，在第(1)题&一>0中，不等号左边的一b移到了右边，并且改变了符号；在第（②）题心+3<0中，左边的3也变号后移到了右边。这种变形和解一元 一次方程中的移项法则是一样的。 因此，根据不等式的这个性质，我们得到解不等式的移项法则： 不等式中的任何，项，都可以把它的符号改变后，从不等 0789 ==========第81页========== 式的一边移到另一边 2。不等式的两边乘以相同的数 ()如果乘数是正数：在不等式5>2的两边都乘以正数3，那末不等式两边的值分别是15和6.因为15>6，所以 5×8>2×3. 如果在不等式5>2的两边都乘以正数(也就是除以2,那末网边的值分别是2号和1.因为2号1，所以5×壹>2× 同样，在不等式一6<一10的两边都乘以正数帚，那术 两边的值分别是一3和一2.因为-3<一2，所以 (-15)×<(-10)× 一般地说：如果a>b,c>0,那末ac>bc.这就是：性质2。在不等式的两边乘以同，个正数，不等式仍旧戒立 说明因为除以一个正数就是乘以这个正数的倒数，所以这个性质对于除以同一个正数，同样适用. 例2.在下列不等式的两边各乘以或除以指定的正数，余得到怎样的不等式？ (四8<6，乘以8 (2)2x>-4,除以2. [解】根据不等式的性质2，可以得到： (1)g×3<5×8,<16. (2)2×号>(-49×，.>-2. .740 ==========第82页========== ()如果乘数是负数：在不等式5>2的两边都乘以 -3,那末两边的值分别是一15和-6.因为-15<-6，所以 5×(-3)<2×(-3). 如果不等式6>2的两边都乘以-号（他就是除以一2），郑末两边的值分别悬-22和-1.因为-2号<-1，所以 5×(-司)<2x(-) 同样，在不等式-15<-10的两边都桑以-号，那末两 边的值分别是3和2.因为3>2，所以 (-1)×(-君)>(-10)×(-) 一般地说：如果a>b,c<0,那末4c”改成“<”，或者“<”改成“>),不等式才能成立. 说明因为除以一个负数就是乘以这个负数的倒数，所以这个性质对于除以同一个负数，同样适用. 例3.在下列不等式的两边各乘以或除以指定的负数会得到怎样的不等式？ (四-营>-1，乘以-5， (2)一4c<12,除以-4. 【解】根据不等式的性质3，可以得到：（-若)×(-b)<(-1)×(-5),.<5, ,75· ==========第83页========== (2)(-4)x×(-)>12x(-)>ー3 ()如果乘数是零：因为零和任何数的积仍旧是塞，所以不等式两边的值都等于零，这时原不等式就变成一个等式了.例如，6>2,5×0=2×0.-7<3，(-7)×0=30. 一般地说：如果a>b,c=0,那末aC=bc. 必须特别注意，在应用不等式的性质2时，一定要看清楚用来乘不等式两边的那个乘数（或者那个代数式的值）是正数、负数还是零. 习.题22 1.在下列各不等式的两边各加上指定的数，所得的不等式是否仍旧成立？ (1)9>5,加上3； (2)-9<5,m上-5； (3)-9<-5,加上4； ()->ー加上受 2。把下列各不等式的两边各乘以指定的数，写出仍旧能够成立的不等式： (1)8>3,乘以2； (2)8>3,乘以-2； (3)-5<2,乘以5； (4)-5<2,乘以-5； 间-4的-8，乘以寻： (0-4-8,乘以-寻： ()an,乘以-3. 3。把下列各不等式的两边各除以指定的数，写出仍旧能够成立的不等式： (1)16>12,.除以2； (2)16>12,除以-2 (3)-4<-3,除以-1； (4).6>-9,除以一3； (⑤)-25<-10，除以-5；(6)一a<-b,除以一1， 4.已知4>b,用不等号“>”或者“<”连结下列各题中的两个式子： ： ==========第84页========== (1)a+5和b+5; (②)a-b和0； (3)-7a和-7b; 国号和宁 和 (⑤ (6) 2 和一 §2·3一元一次不等式和它的解法 1。一元一次不等式的意义我们来看下面的几个不等式： c-3>5; a+5>a+1 <1 3(1-y)>2(y-6) 这些不等式都只含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数都只有一次 只含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数是1次的不等式，叫做一元一次不等式。例如，上面一些不等式都是 一元一次不等式 2、一元一次不等式的解法解不等式的方法，就是根据不等式的性质，把原不等式逐步变形成比较简单的不等式，直到最后得出象c>a或者心7. 【解]根据移项法则，把3移到右边，得 -2x>4。 两边都除以一2，得 <-2 这个不等式的解可以象图21那样，在数轴上表示出来。 4 -8 2 1 图21 注意1.在把不等式一2x>4的两边都除以-2以后，得到的一个不等式是x<一2。这里必须注意这两个不等式中不等号的方向是不同的. 2,为了清楚地看出适合不等式的解的那些数值范围，我们通常用数轴上的点来表示不等式的解。在图21里，因为心=一2不适合原不 ·等式，所以在数轴上表示一2的一点，用空心圈“。”标出 从这个例子可以知道，不等式3一2>7根据不等式的两个性质逐步变形成不等式一2x>4和心<一2，它们的解是相同的.象这样的两个不等式3一2x>7和心<一2，叫做同解不等式. 必须注意，方程的解（也叫做方程的根）和不等式的解是不同的.一般地说，方程的解是确定的一个（或几个）数值（以后会讲到方程的解可以有儿个)，而不等式的解是一个数值范围，它的数值可以有无数多个.例如， 方程3一2c=7的解是心=一2，只有一个数值； 不等式3-2c>7的解是心<一2，是一个数值范围，有无数多个数，如心=一3，心=一5.2等等。例2.解不等式：78 ==========第86页========== 2m<3c+4. 【解]根据移项法则，把3心移到左边，得 2c-3<4. 合并同类项，得 -t<4. 两边都乘以一1，得 G>-4. 这个不等式的解可以象图22那样，在数轴上表示出来 一4 -3 -2 1 图22 例3.解不等式： 2(5-8c)>3(4+2). [解]去括号，得 10-6x>12+6. 移项，得 -6x-12x>6-10. 合并同类项，得 -18x>-4。 两边都除以一18，得 18 就是 2 如人 图23表示数轴上能使不等式成立的数值的范围。 79 ==========第87页========== 03 图23 说明为了约简分数，从<青得出云<号，必须分步写出，不能 误地写成< 例4.解不等式：~ 2e+1)+2g2<-1,3 【解去分母，得 12(c+1)+2(c-2)<21心-6. 去括号，得 12c+12+2c-4<21e-6。. 移项，得 12x+2-21x<-6-12+4, 合并同类项，得 -7e<-14。 两边都除以一7，得 w>2. 图24表示数轴上能使不等式成立的数值的范围。 图·24 从上面的例子可以看出，解一元一次不等式的一般步骤如下： (1)去分母（乘数是正数，保留原不等号；乘数是负数， ●‘80● ==========第88页========== 要把不等号改变成相反的不等号)： (ⅱ)去括号； (i)移项；(iv)合并同类项； (ⅴ)不等式的两边都除以未知数的系数（系数是负数时，要把不等号改变成相反的不等号). 由于不等式的形式不同，所以在解不等式时，上面的步骤并不一定都要用到，并且也不一定都要按照上面的顺序进行演算。 习题23(1) 解下列各不等式，并且在数轴上把不等式的解表示出来： 1.2x-3>7。 2.6x+4<2c. 3.8-2x>3, 4.10<12-g。 5.3(x+2)>6, 6.+1<4. 7.+5>寻 8.2m-3<3x+2 2 .7 9.2(4c-3)>5(8m+12.410, 5(g-1)-1>2(g+1) 6 例5.解下列不等式： (1)-6-+7>5+也 263 (2)15-2-7-地>6-0 263 【解](1)去分母，得 3ax-15-x-7>10+2. 移项，得 3x-c-2x>10+15+7. 合并，得 0x>32. ==========第89页========== 不论心取什么数，这个不等式不成立、 原不等式没有解。 (2)去分母，得 45-3x-7+x>10-2. 移项，得 -3x+w+2>10-45+7. 合并，得 0x>-28 心不论为任何值，这个不等式总是成立 ·.原不等式是绝对不等式。 解不等式熟练以后，写法和步骤可以简化例6.是什么数的时候，代数式3一7的值 (1)大于零？ (2)等于零？ (3)小于零？ [解](1)代数式3x一7的值大于零，就是 3x-7>0. 3aw>7, >21 2 图25 (2)代数式3x一7的值等于零，就是 3c-7=0. 3c=7, 。21。 ●82◆ ==========第90页========== 图26 (3)代数式3c一7的值小于零，就是 3a-7<0. 3c<7, <21 图27 答：(④)当云取大于2号的值时，30-7大于零： (2)当：取2宁这个值时，3x-7等于琴； (8)当取小于2号的值时，3-7小于零， 例7.某工人在技术革新后，完成的生产量超过原来生产定额的15倍.如果他原来的定额是每月生产60件，这位工人现在每天平均生产的产品是多少？ 【解]设这位工人现在每天平均生产心件产品，那末一个月生产30件产品. 根据题意，得到不等式 30zx>15×60. 就是 30x>900, .>30 答：这位工人现在每关的产品多于30件. ·83● ==========第91页========== 例8.一个车间计划在15天内造出大型零件192个，最初3天试制，每天只做了8个.后来改进了技术，结果在规定日期内可以完成甚至可以超额完成计划.第四天起，平均每天至少做几个？ [解]设第四天起，平均每天做心个零件，那末最后的12天里共做了(15-3)c个零件. 因为前三天共做了8×3=24个零件，所以根据题意，得到不等式 24+(15-3)x≥192①， 就是 24+12x≥192， 12c≥168， ..c≥14 答：这个车间后来平均每天至少做14个零件。 图28表示不等式解的范围. 10 图28 、说明在图28里，因为心=14适合这个不等式，所以在数轴上表 示14的一点，用黑点“，”标出. 习题23(2) 1.解下列各不等式： (1)12++3 3 5. ①象这种用符号“≥”（读做大于或者等于）或者“≤”（读做小于或者等于）把两个代数式连结起来的式子，也可以叫做不等式。但是，在解的时侯，要考意到不等和相等两个关系同时成立的结果。 84● ==========第92页========== 2)3@+1-1<7-3+2c=22, 3 5 15 (3)용-7<(9-1) (4)3(2+5)>3-1; 2 6)ー受+号-<1++8，3 65 网2a2<152-号+0.4 2.求出适合下列各式中x的数值范围，并且在数轴上把它表示出来： 1)4-3c-1≤5(+3）+1； 4 8 (2)3x-1-13-2>7x-11(x+3) 52 3 6 3,用不等式表示： (1)a是一个正数； (②)a是一个负数. 4.下列各代数式中，字母取什么数的时候，它的值是负数？1）6c-1-2c; 4 22-是. 5。下列各代数式中，字母取什么数的时侯，它的值是正数？ 号+8； (2)2(x+1)-3. 6,:是什么数的时候，代数式8：5-237 的值一定小于2？ 7.是什么数的时侯，代数式2“一3-十4的值一定大于-1？3 8.一个数的2倍加上5所得的和，大于这个数的3倍减去4所得的差，求这个数的范围， 9、某校学生下乡支援三秋，每小时走4公里，出发后2小时，校方有紧要通知，必须在40分钟内送到.通讯员骑自行车，至少以什么速度才能在40分钟内把信送到. [提示：40分钟内送到，意思就是可以用40分钟或不到40分钟的时间送到.了 ·85,· ==========第93页========== 10.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方.现在要比原定计划至少提前2天完成任务，以后几天内平均每天至少要完成多少土方？ 本章提要 1.几个重要概念绝对不等式和条件不等式，不等式的解。 2.不等式的性质 (1)如果a>b,那末a+c>b+c(或者a一c>b一c); 倒知果a>6,e>0,那末e>阳（或者名>名》： (3)知果a>b,e<0,那未aeb或者ax0 解是x> 解是x< a a a<0 解是x< a 解是x> a b>0 无解 可以是任意值 a=0 b=0 无解 无解 b<0 可以是任意值 无解 复习题二 1.(①)绝对不等式和条件不等式有何区别？各举两个例子。它们的解有何区别？ (②)不等式的解和方程的解有何区别？ ·86· ==========第94页========== 2.下面两题的解法，对不对？为什么？ (1)一x=8,两边都乘以一1，得x=-8; (2)-x>8,两边都乘以-1，得x>-8. 3.(1)如果a>b,是否一定会得到ac2>bc?为什么？[提示：要考虑c>0,c<0,c=0三种情况.] (2)如果ac2>bc2,是否一定会得到a>b?为什么？ 4.在数轴上，指出表示下列不等式里的x的点所在的范围： (1)x>3; (2)x<-2; (3)12; (6)x<3. [提示：13-“是 2 份3-용-능 32x-1<3x+1-5 12 6 ④-5-1<203+号-13 2 (5)(2ac-1)2-1>4(x-1)(+2); ©（号-°>（偿+3（Ξ-3）. 6,求出适合下列各式中如的数值范围，并且在数轴上把它表示出来：四2=->-号》； (2)()（용+）（용-） 7.取哪些数时，代数式-8的值： 1)大于7-x的值？ (②)小于7-x的值？ (3)等于7-x的值？并且在数轴上把它们表示出来。 ·87· ==========第95页========== 8.已知a≠b,求证： (1)(a-b)2>0; (2)a2-2ab+b2>0; (3)a2+b2>2ab; 49)め<(+が) [提示：证明(1)时，因为a+b,只要考虑不论a一b的结果是正数还是负数，(a-b)2应该怎样？证明(2)，(3)，(4)时，根据(1)，利用解不等式的方法来证明.] *9.(1)证明：如果a是正数，那末不等式|x>a的解是x>a或者是x<一a; [解法举例：如果x是正数或者零，那末x=c,所以原不等式就是x>a(a>0).这个不等式的解是x>a. 如果x是负数，那末{x=一x,所以原不等式就是一x>a(a>O).这个不等式的解是x<一a. 因此，原不等式的解是c>a或者g<一a.] (2)解下列各不等式：(i)|x+1>5, (ii)x+1|>5, (iii)|2c-1>3, [提示：应用(1)的结论，只要把x+1}和|2一11都看做1一、样去解.] “10.(1)证明：如果a是正数，那末不等式|<4的解是一a< xb>0); a+b.a一b 2 증+-1+， (3) [b2(1-a2)-a2+0]: +丝=1+g b 解下列各三元一次方程组(8~11)： x+y+名=6， 8. ya=2:3, 9.32_三=10， 3x=a. 上-1⊥=2. y+1 =1, x十1=2， y+名 10. y 11. -2 2c-名 一4， -1=1。 必+1=1。 4x+y ◆136· ==========第143页========== 12.解下列关于x,,名的三元一次方程组： [E+y=3m, x-5y-38=4, (1) x+名二4m, (2) 3x+5y-名=b, ly+名=5m; 3y一x+5z=c, 13.一个工厂去年的总产值比总支出多500万元，今年的总产值比去年增加15%，总支出节约10%，因此总产值比总支出多950万元.求去年的总产值和总支出。 14,从某人民公社到城市，要先走坡道后走平路.一个通讯员骑自行车以每小时12公里的速度下坡，然后以每小时9公里的速度通过平路，到达城市共用55分钟.他回来的时侯，以每小时8公里的速度通 过平路，然后以每小时4公里的速度上坡，回到公社就用了1号小时， 问从该人民公社到城市有多少公里？ [提示：先要分别求出坡道和平路各有多少公里.] 15。甲、乙两仓库共存粮5吨，现在从甲仑库运出它的存粮的号，从 乙仓库运出它的存粮的40%，那末乙仓库所余的粮食是甲仓库的2倍、甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？ 16.A,B两城的距离是50公里.甲乘自行车从A往B,出发1小 时30分钟后，乙乘摩托车也从A出发往B。已知乙的速度是甲的速度 的2.5倍，并且乙比甲早到1小时，求各人的速度. 17.甲种铁矿石含铁的百分数是乙种铁矿石的1.5倍，甲种铁矿石5份和乙种铁矿石3份混合，就含铁52.5%，求甲、乙两种矿石含铁的百分数. 18.一只轮船在一条江里顺流航行100公里，逆流抗行64公里，共用9小时.如果逆流就行80公里，顺流航行80公里，那末所需要的时间也是9小时。求轮船在静水里的速度和水流速度 19.代数式a+y,在x=5,y=2的时侯，它的值是7；在化=8，y=5的时候，它的值是4，求这个代数式. 20.代数式a2+a+e,在2=-1，=3，一是的时候，它的值分 别是10,14,4，求这个代数式。 ·1您6● ==========第144页========== 第四章方·根 §41方根的意义 我们来看这样一个问题什么数的平方等于25？ 这个问题就是要求平方后等于25的这样一个数.我们把这个数叫做25的二次方根，也叫做25的平方根 因为52=25，（-6)2=25，所以5和-5都是25的平方 根。同祥，（侵》”-告，(~号-台所以是和-号都是告 的平方根；(0.6)2=0.36，(-0.6)2=0.36，所以0.6和-0.6都是0.36的平方根. 一般地说，如果一个数的平方等于a,那末这个数就叫做a的平方根. 我们再看： 43=64,我们就说4是64的三次方根，也叫做64的立方 根又如，(-3)。-27，以-3是-27的立方根：（层）°-员，所以是是品的立方根 一般地说，如果一个数的立方等于a,那末这个数就叫做a的立方根 同样，因为24=16，(-2)4=16，所以2和-2是16的四次方根.（一3)5=一243，所以一3是-243的五次方根. ·137:● ==========第145页========== 一般地说，如果一个数心的次方等于a,就是x"=a,我,们就说c是a的n次方根. 求一个数的方根的运算，叫做开方.求a的平方根的运算，叫做把a开平方；求a的立方根的运算，叫做把a开立方. 一般地说，求a的m次方根的运算，叫做把a开n次方.这里，a叫做被开方数，叫做开方的次数.例如：把25开平方，被开方数是25，开方的次数是2，把64开立方，被开方数是64，开方的次数是3. 注开方是一种运算，方根是开方运算的结果；正象加、减、乘、除、乘方是运算，和、差、积、商、是运算结果一样 根据方根的意义，我们可以知道，乘方和开方互为逆运算(就是说开方是乘方的逆运算，乘方是开方的逆运算)，所以我们可以利用乘方来检验开方的结果是不是正确。例检验下列各题： (1)0.2是不是0.008的立方根？ (②倒)令和-含是不是是的平方根？ (3)3和-3是不是一27的立方根？ 【解](1).·(0.2)3=0.008， ,,0.2是0.008的立方根。 ():()-끓()-용和一음都是的平方根 (3).·(-3)3=-27,而33=27， 一3是-27的立方根，而3不是一27的立方根。 ·138◆ ==========第146页========== 习题41 回答下列各问题： 1.7和-7是不是49的平方根？ 2。号是不是品的立方根？ 3.2和-2是不是8的立方根？ 4合和-号是不是行的平方根？9是不是京的平方根7 5.0.3和-0.3是不是0.0081的四次方根？ 6。一是和是是不是-器的立方制？-量是不是寻的立方根？7号和一号是不是9的四次方根？ 8.是和-子是不是一品的五次方根？ 9.平方后等于64的数，共有哪几个？ 10.64的平方根共有哪几个？ §42方根的性质 在上一节里，我们看到，5和-5都是25的平方根，2和 一2都是16的四次方根；4是64的立方根，-3是一243的五次方根。从开方次数来看，开平方，它的开方次数是2，开四次方，它的开方次数是4,2和4都是偶数，所以说，平方根，四次方根都是偶次方根.开立方，它的开方次数是3，开五次方，它的开方次数是5,3和5都是奇数，所以说，立方根和五次方根都是奇次方根。下面就分奇次方根和偶次方根来研究方根的性质 1。奇次方根的性质我们来看下面的例子： ●139· ==========第147页========== (1)25=32,2就是2的5次方根；任何不等于2的数，它的5次方都不等于32，所以说，32的5次方根只有一个2. 又如，（侵》°易，青就是牙的3次方根：任何不等于子的数，它的8次方都不等于易：所以说，易的8次方根只有一个.不仅如此，我们还可以看到，2是正数，它的6次方根2也是正数：同样，正数的3次方根号也是正数这 就是说，正数的奇次方根是一个正数 (2)（-0.3)3=-0.027,-0.3是-0.027的3次方根；任何不等于-0.3的数，它的3次方都不等于一0.027；所以 说，0.027的3次方根只有一个数-0.8又如，(-)°-“品，受是一福的6次方斑任饲不等于一安的数，它的5次方都不等于-夏：所以说，一易的5次方根只有一个数-是。同样我们还可以看到，-0.027是负数，面=0.3也是负斑；-豆是负数，面-专也是负数。这就是说，负数 的奇次方根是一个负数 (③)因为零的任意次幂都等于零，所以零的奇次方根仍旧是零. 综合上面的例子，我们可以得出奇次方粮的性质如下：正数的奇次方根只有，个，并且是，个正数：负数的奇次方根也只有，个，并且是一个负数。零的奇次方根仍旧是零。2、偶次方根的性质我们再来看下面儿个例子： (1)7=49,(-7)=49,7和-7都是49的平方根；任何绝对值不等于7的数，它的平方都不等于49；我们还知道， ●.140· ==========第148页========== 49是一个正数，7和-7虽然一个是正数，一个是负数，但是它们的绝对值是相同的，它们是两个互为相反的数.所以说，49的平方根有两个，并且只有两个互为相反的数7和一7.· 又如，(0.2)4=0.0016，(-0.2)4=0.0016,0.2和-0.2都是0.0016的四次方根；任何绝对值不等于0.2的数，它的四次方都不等于0.0016；同样，我们还知道，0.2和一0.2是两个互为相反的数.所以说，0.0016的四次方根也有两个，并且只有两个互为相反的数0.2和一0.2. 这就是说，正数的偶次方根是两个相反的数. (2)求-25的平方根.因为正数的平方是正数，负数的平方还是正数，零的平方也是零，所以没有一个数的平方等于 一25.这就是说；一25没有平方根①. (③)因为零的任意次幂都等于零，所以零的偶次方根仍旧是零 综合上面的例子，我们可以得出偶次方根的性质如下：正数的偶次方根是两个相反的数；负数的偶次方根没有意义、零的偶次方根仍旧是零 注关于零的方根，我们可以综合起来说：零的任何次方根仍旧是零. §4·3方根的记法 前面我们已经学过方根的意义，懂得了什么叫做方根.为了书写简便，通常用一个符号来表示它. 从上一节方根的性质里，我们知道，一个数的奇次方根只 ①将来数的概念书扩大以后（在代数第四册复数一章中会讲到），我们就说负数的平方根是两个虚数。 •141● ==========第149页========== 有一个，所以当%是奇数的时候，a的次方根可以用一个符号a来表示（这里%是奇数）.符号“√厂”叫做根号，这里a是被开方数，%是根指数.例如，8的立方根用符号3⑧表示； 一32的五次方根用符号/一32表示； 一易的立方根用符号品表示 因为正数的偶次方根有两个，它们是两个相反的数，所以当%是偶数时，正数a的偶次方根就需要用两个符号来表示，通常用符号/a来表示正的一个，而用符号一a来表示负的一个（这里a是正数，n是偶数）.例如， 16的四次方根有两个：+2和一2，我们用16来表示正的一个，就是十2，而用一/16来表示负的一个，就是一2. 品的四次方根有两个：+号和-寻我们用后表示正的一个，就是+号，而用一牙表示负的一个，就是一京 表示正数的偶次方根，为了简便起见，有时可以把它的两个方根合并写在一起，用符号士叫a来表示（这里，%是偶数，a是正数).例如，上面两个例子里，16的四次方根可以用符 号士派来表示京的四次方根可以用符号±√来表 示 用符号表示平方根的时候，通常把根指数2省略不写.例如，9的平方根有两个，一个是√⑨，就是+3，另一个是 -√9，就是-3，而不写成/⑨和一/9.如果合并起来写，就写成士9，而不必写成士9.同样，6的两个平方根可以合并写成士√6，而不必写成士是6， ◆142● ==========第150页========== 注意用根号来表示方根的时候，书写必须清楚，根指数要用小一点的字体写在根号的左上角.如果写成“√a”的形式，那就错误地变成n和√a的乘积了. 习题43 1.下面的一些方根里，哪些有意义？哪些没有意义？有意义的要求出方根的值，没有意义的要说明为什么没有意义？ (1)27的立方根； (2)-27的立方根； (3)子的平方根； (④)一4的平方根； (5)0.0001的四次方根； (6)0的四次方根； (7)-1的四次方根； (⑧)32的五次方根； (⑨)-日的立方模； (10).-0.0016的四次方根。 2.用方根的符号表示下列各题： (1)36的平方根； (2)100的平方根； (3)一64的立方根； (4)一易的立方 (5)一32的五次方根。 §44算术根 在研究方根的性质时，我们已经知道，正数的偶次方根是两个相反的数，并且知道通常用符号表示正的一个方根，而负的一个方根则用一a来表示。为了区别这两个方根，我们规定： 正数的正的方根，叫做算术根. 零的任何次方根都是零，通常我们也把它叫做算术根，就是说，我们规定零的算术根是零.这样规定以后，就是说，当a是正数或者零的时候，符号α所表示的方根是算术根. ●143· ==========第151页========== 例如，4的平方根有两个：√/④和一√4，就是+2和-2，而+2叫做4的算术平方根.81的四次方根有两个：/81和 一48工，就是+3和一3，而+3是81的四次算术根. 从算术根的意义可以看出，如果方根满足下列两个条件的，就是算术根：一个条件是被开方数是正数（或者是零），另 一个条件是方根的值是正的（或者是零）.象前面所举的例子中，被开方数4是正数，取正的一个方根2，所以2是4的算术平方根.同样，我们知道，正数的奇次方根是一个正数，显然，被开方数是正的，方根的值也是正的，它也满足算术根的两个条件，所以也叫做算术根.例如，3⑧=2，被开方数8是正数，方根的值也是正数，所以2是8的算术立方根.同样，3 是27的算术立方根，马也是号的算术立方根. 但是，-2不是一8的算术立方根，一3也不是一27的算术立方根。因为被开方数都不是正数，并且方根的值也都不是正数。· 例1.求下列各式的值： (1)/125 (2)-1; (3)/81; (4)√/(-；(5)√(-3.④)；√-)。[解1(1).·53=125，∴.3/126=5. (2).'(-1)3=-1, ∴。-1=-1。 (3).·34=81,（-3)4=81,而8江表示4次幂是81的两个数中正的一个， ∴81=3. (4)·.·√/(-)严=5，而√表示平方是25的两个数中正的一个（或者叫做25的算术平方根）， 0144● ==========第152页========== .√(-=6. (⑤).·√(-3.4)=√(3.4)=11.56，而√11.56表示平方是11.56的两个数中正的一个， W(-3.4)=3.4, ⊙·√T--√停面√昏表示平方 是告的两个数中正的一个（或者叫做号的算术平方根）， 例2.(1)√6是不是等于6？ (2)√(-6)是不是等于-6？ 【解](1).'√/=√6，而√6表示36的算术平方根6， .=6. (2).·√(-6)=√6，而√6表示36的算术平方根6， 。√(-6)≠-6，而√(-6)=6. 从这个例子得到启发，可以一般地说，当是正数的时候，√a2=a;当a是负数的时候，√aF不等于a,而等于a的相反的数-a;当a=0的时候，√a=√=0. 例如上题中的(I),a=6,是正数，所以√a=,就是√⑧=6.但是在(2)中，a=一6，是负数，所以√a≠，而√=-a,就是√(-6)严=-(-6)=6. 在代数第一册里学有理数的绝对值时，已经知道，正数的绝对值就是它本身；负数的绝对值是和它相反的数；零的绝对值是零.如果用数学式子来写，就是 ·145· ==========第153页========== a(当a>0的时候)，0(当a=0的时候)， -a(当a<0的时候). 如果跟这里所讲的√的情况相对比，可以看出它们的结果是一样的。因此，我们可以得到： a(当a>0时)， a 0(当a=0时)， -a(当a<0时)， 注意这个结论要清楚地掌握，以后经常要应用.例3.在下列各种情况，求√(a-5)的值： (1)a>5; (2)a<5; (3)a=5。 [解]因为√(a-5)=a-51. (1)当a>6时，那末a-5>0, .∴./(a-5)产=a-5|=a-5. (2)当a<5时，那末a-6<0, √(a-5)=|a-5=-(a-5)=5-a. (3)当a=6时，那末a-5=0, .∴./(a-5)=a-5l=0. 说明本题中的a-5,相当于上述结论中的a.例4.在下列各种情况，求√(2-)严的值： (1)2c>.(2)2<:(3)2c=y.[解].'√(2x-g)=|2c-y. (1)当2x>y时，2-y>0, .∴.√(2x-g)F=|2ac-|=2c-. (2)当2xa)； (9)√(7-a)严(7n); (11)√(m-h)(m<). [提示：各题后面括号内是所给的条件.第（⑤），(6)，(T)各题，先 要根据条件，求出方根的结果，然后再用已知数值代入，求出方根的值，门 3.设m和”是两个不相等的数，指出由于下列演算中哪一步的错误，因而得出错误的结论： m-2m%+n2=n2-2m%+m2, (m-n)2=(n-m)2, √(m-n)=√(n-m), m-n=n-m, 2m=2n, '。m=n. 4.在a=5的时候，甲、乙两人计算a+V1-2a+a的值，得到不同的答案。甲的解答是 ●147 ==========第155页========== a+√1-2a+a=a+V1-a'=a+1-a=1; 乙的解答是 a+V/I-2a+a=a+√(a-1)=a+a-1 =2a-1=2×5-1=9, 哪一个答案是正确的？错误的解答，错在什么地方？为什么错？ §4·5完全平方数的开平方 我们来看下面这些等式： 26-5是-（保，0.04=0.22 这里第一个等式就是说，25这个数等于另一个数5的平 方的绪果.同样，号和0.04分别是和0,2的平方的结 果 如果一个有理数a等于另一个有理数五的平方，就是 a=b2, 那末，这个有理数a叫做完全平方数例如，2可，品，0.04等 都是完全平方数. 因为没有一个数的平方等于负数，也就是说，任何一个负数都不能等于另一个数的平方.因此，很明显，负数都不可能是完全平方数. 一些简单的完全平方数，我们可以用心算的方法求得它们的算术平方根 例1.求下列各数的算术平方根： 121;169;225;289；324;361. [解1√/121=11； /169=13; 、•148· ==========第156页========== W226=15; √289=17； /324=18; /361=19. 由以上的例子看出，被开方数越大，它们的算术根也越大. 分数是由分子和分母（都是整数）所组成，如果能够找到 一个规律，把分数的开平方转化成分子和分母的开平方，就可以按照上面的方法计算了.我们看到：因(),所以√- /164 但是4=√16,5=√25， /16-16 2525· 这就是说，分子和分母都是正数的分数，它的算术平方根就是用分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母所组成的分数 因此，如果分数里的分子和分母都是完全平方数，我们就可以用完全平方数的开平方方法求得它的算术平方根，例2.求下列各分数的算术平方根： 16 25 23449; 144； 81… [解] /16W164 N49√47 26 W255 N144 /14412 - 196 81 √81 9 说明如果被开方数是带分数，先把它化成假分数，然后开平方，并将最后结果仍旧化成带分数。 ·149• ==========第157页========== 习题45 求下列各数的算术平方根： 1.81. 2.400, 3.256, 4.3600 5.10000 6.49 100 7.169 8. 225289· 361· 26 9.49· 10.181 6 §46开平方的一般方法 一些简单的完全平方数的开平方，我们可以从某数的平方结果试算出来，但是比较复杂一些的，就很不容易看出.下面我们来研究一个正数的开平方的方法 1,整数的开平方我们来研究这样一个题目：求529的算术平方根. 第一步：首先确定529的算术平方根的位数.我们知道 12=1, 92=81, 102=100, 99=9801, 1002=10000, 9992=998001, ●◆◆◆●。●g◆e◆p●● ●●0ge◆0◆0e●e●●0◆● 这里，1和9都是一位数，1是最小的一位数，9是最大的一位数.同样，10和99是二位数，一个最小，一个最大；100和999是三位数，个最小，一个最大，….由此可见，一位数的平方是一位数或者两位数，两位数的平方是三位数或者 四位数，三位数的平方是五位数或者六位数，…。反过来，也可以看到，一位数和二位数的平方根有一位整数，三位数和 ·150· ==========第158页========== 四位数的平方根有两位整数，五位数和六位数的平方根有三位整数，…。根据这个规律，我们可以把一个整数从右向左每隔两位用一个撇号"”分开，所分得的段数就是这个数的算术平方根的整数位数.例如把529撇成5'29，它有两段，所以5'29的算术平方根是两位整数. 第二步：根据它的左边第一段里的数，确定算术平方根的第一位上的数. 因为22=4,32=9，而左边第一段里的数是5,22<5<32，所以529的算术平方根的十位数字只能是2。（如果是3,32大于6，显然不可能.) 第三步：确定√29的个位数字.假设个位数字是a,因为十位数是2，实际表示2×10=20，所以就可以把这个算术平方根写成20+a的形式，就是 N/529*20+a. 两边平方，得 529=(20+a)3, 就是 529=202+2×20a+a2 两边都减去202（就是400），得 129=2×20a+a2 =(2×20+a)·a, 就是说，所得的129应该等于(2×20+a)·&.从这个关系，我们就可以求出这个平方根的个位数字。 如果把(2×20+a)看作近似于2×20，用2×20（就是40）去试除.129，得到3 要确定a的值是不是3，只要把3代入(2×20+a)u,看它的值是不是等于129就可以了.现在(2×20+3)3=129，这就说明a的值的确是3.因此，√529=23 ◆151● ==========第159页========== 上面所说的计算过程，可以用下面的形式写出来： 23 √629…(20+a)2 400…202 2×20+a=40+3=43129…2×20a+a2 a=3129…(2×20+a)g=43×3 0 在计算的时候，上面这个书写形式可以简写成下面的形式： 23 √629 4 43129 129 0 '.√529=23 这里，在根号上面对着第一段5，先写十位数字2（实际表示20)，把2”*4（实际表示400）写在5的下面，5一4=1（实际表示100)，把被开方数的第二段29移下来得到129.在竖线的左边写上2的2倍（实标表示2×20=40），用40去试除129得到试商3，在根号上面对着第二段29写上3，同时在竖线左边的4的右边写上3，得到43.用43乘以3，得到129，129-129=0,这就得到√529=23， 例1.求√/1444， e152◆ ==========第160页========== [解1 38 /14'44 9 68544 544 0 .·.W1444=38. 说明在本题中，先把1444从右向左每隔两位用撇号分开.根据左边第一段里的数14，因为32=9,4=16，而32<14<4，所以1444的算术平方根的十位数字只能是3.从14中减去3（就是9），余5，再把被开方数的第二段44移下来得到544，在竖线的左边写上3×2=6(实际表示60)；将544除以60，得到试商9，那末竖线左边照理应该写69,但是69×9=621，大于544，所以改用8，而68×8的积刚巧等于 544.因此，确定了1444的算术平方根的个位数字是8. 四位数以上的整数的开平方，也可以按照同样的方法来计算。 例2.求√84681 [解】把84681从右向左每隔两位用撇号分开，得到三段，计算的时候，还是根据左边第一段先确定百位数字，然后依次确定十位数字和个位数字 291 /84681 4 49446 441 581581 581 0 。/84681=291. 0.158· ==========第161页========== 说明在本题第二步计算中，446除以40得到试商11，但是这里只能是一位数，所以改用9.49×9=441,446-441=5，再把被开方数的第三段81移下来得到581.在确定个位数字的时候，把29×2=58(实际表示580)写在竖线的左边，按照第二步计算的同样方法来求得个位数字.要特别注意，不能只把9×2=18（实际表示180）写在竖线的左边，进行计算 例3.求601264. [解] 708 50'12'64 49 140811264 11264 0 .·.√601264=708 说明在本题第一步计算中，50减去49，余1.写下被开方数的下 一段12得到112.用140去除112，不够商1，所以在算术平方根的第 二位上写0（就是十位数字等于0），再把被开方数的第三段64写下来，得到11264.然后用1400去除11264，求得商8。 例4.求√22146436 解】 4706 √2214'6436 16 87614 609 940656436 56436 0 。√22146436=4706. 0154◆ ==========第162页========== 说明在本题第三步计算中，用940去除564，不够商1，所以在算术平方根的第三位上写0，再把被开方数的第四段36写下来，得到56436.然后用9400去除56436，求得商6. 从上面儿个例题，可以得出整数开平方的一般方法是： (1)把被开方数从右向左每隔两位用撤号分开.()从左边第一段求得算术平方根的第一位数字.()从第一段减去这第，位数字的平方，再把被开方数的第二段写下来，作为第，个余数 (v)把所得的第一位数字乘以20，去除第一个余数，所得的商的整数部分作为试商.（如果这个整数部分大于或者等于10，就改用9作试商.如果第，个余数小于第，位数字乘以20的积，则得试商0.) (v)把第，位数字的20倍加上试商的和，乘以这个试商，如果所得的积大于余数时，就要把试商减1再试，直到积小于或者等于余数为业，这个试商就是算术平方根的第二位数字。· (v)用同样的方法，继续求算术根的其他各位数字。 习题46(1) 用直式开平方法求下列各式的值： 1.V√76. 2.√1521。 3.V/1849. 4.√2209。 5./3364. 6.√3721。 7./7396 8.√9604. 9,√64009 10.√256036 11.√499849 12.√64064016 2。小数的开平方求小数的算术平方根，也可以用整数开平方的一般方法来计算，但是在用撇号分段的时候有所 ●158● ==========第163页========== 不同.求纯小数的平方根，分段时要从小数点起向右每隔两位用撇号分开，如果小数点后的最后一段只有一位，就添上一个零补成两位.例如把0.6257撇成0.62'67,0.801撇成 0.80'10. 因为混小数有两部分，小数点的左面是整数部分，小数点的右面是小数部分，所以求混小数的平方根，分段时要从小数点起向左把整数部分每隔两位用撇号分开，从小数点起向右把小数部分每隔两位也用撇号分开.例如把175.2976撇成 176.2976 不论求纯小数或者混小数的平方根，除了分段跟求整数平方根的分段不同外，其余的计算和求整数平方根里所讲的 一样.但是要注意所得的平方根里的小数点的位置，就是说平方根的小数点要对准被开方数的小数点，例6.求√0.4624 I解1 0.68 /0.4624 36 1281024 1024 0 ..0.4624=0.68. 例6.求√0.000729 【解1 0.027 0.00'0729 4 47329 329 0 。√0.000729=0.027. 0.1560 ==========第164页========== 例7.求√1.1664 [解] 1.08 W1.1664 1 2081664 1664 0 ..√1.1664=1.08. 例8.求√176.2976， 【解1 13.24 /175.2976 1 2375 69 262629 524 264410576 10576 0 .".√175.2976=13.24. 习题46(2) 用直式开平方法求下列各式的值： 1.V/0.3481 2.W0.75G9, ◆1570 ==========第165页========== 3.√/0.1369 4.√0.6084 5.√0.000961， 6.√0.002401。 7.√0.003249 8.√56.7009， 9.√16.6464， 10.√552.7201， §47近似平方根 上两节里所讲的开平方，由于被开方数都是完全平方数，所以开方都能够开尽.但是并不是所有被开方数都是完全平方数，例如，我们要求2的算术平方根，开方就永远开不尽. 我们知道， 12<2, 就是√2>1， 而 22>2, 就是√2<2， 所以看出√2一定介于1和2之间，就是1<√2<2.这就是说，1接近于√2但是小于√2，而2接近于√/2但是大于√2.在这种情况下，我们说，1是√2的精确到1的不足近似值，2是√2的精确到1的过剩近似值. 说明所谓精确到1，就是把数值计算精确到个位.如果说精确到 0.1,就是把数值计算精确到十分位.余类推. 一个正数开平方，如果只求出它的不足近似值或者过剩近似值，那末这个求得的近似值，叫做这个数的近似平方根. 求一个正整数或者正小数的近似算术平方根，我们仍旧可以用前面学过的开平方的一般方法算出精确到任意哪一位的近似值.下面举例来说明.例1.求√2（精确到0.001）。 ·158· ==========第166页========== 解1 1.414 √2.00'00'00 1 24100 96 281400 281 282411900 1129.6 604 .√2≈1.414， 说明1，这里，开方开到1后，没有开尽，添两个零成一段再开方，得1.4，还开不尽，再添两个零成一段再开方，得1.41，还开不尽，再添两个零成一段再开方，直到算出平方根精确到0.001为止。 2.符号“≈”是近似符号，就是说这个值是近似值。例2.求√10.3（精确到0.01）.[解] ( 3.209 10.30'00'00 9 62130 124 640960000 57681 2319 。√10.3≈3.21. ·159· ==========第167页========== 说明这里，被开方数原来是10.3.因为小数点后只有一位，所以先添一个零补成两位.开到3,2后，没有开尽，再添两个零成一段再开方，以下相同.照题目要求，10.3的算术平方根只要精确到0.01，但是千分位上的数开出来是9，所以根据四舍五入法则，把百分位上的0改 成1，取V10.3≈3.21 例3.求√0.05388（精确到0.001）.[解 0.232 √00638'80 4 43138 129 462980 924 66 。∴。√0.05388≈0.232. 说明这里，因为再开下去得1，根据四舍五入的法则，取√0.05388≈0.232 注四舍五入法则就是说在指定舍去某一数位后面的数时，如果所舍去的数的最左边的一个数字是5或者大于5，就在保留的数的最右边一个数字上加1；如果所舍去的数的最左边的一个数字小于5，保留数就不变 求分数的近似算术平方根，可把分数化成小数后再计算。例如， 32√3.285 181(精确到0.01)， ·160· ==========第168页========== 1.81 3.28'57 1 28228 224 361457 361 96 习题47 求下列各数的近似算术平方根： 1.15(精确到0.01). 2.95.3(精确到0.01)， 3.5.57(精确到0.01). 4.36.85(精确到0.01)。 5.157.1(精确到0.01)。6.0.0348(精确到0.01)， 7.1866.2(精确到0.1)。8.3号（01） §48平方根表和它的用法 利用上面的开平方的方法，我们可以求出一个正数的算术平方根或者近似算术平方根.但是这样的计算比较麻烦，为了迅速面正确地求出一个正数的算术平方根，可利用平方根表来查得，在《普通中学适用四位数学用表》（简称《四位数学用表》，人民教育出版社编辑出版，1961年5月第一版)这本小册子里就附有平方根表，下面就根据这个平方根表来讲它的用法. 根据《四位数学用表》中的平方根表所求出的平方根，通 0181· ==========第169页========== 常是近似根。这个表中的平方根都是取四个数字.就是说，近似数从左面第一个不是零的数起到最末一位数止，有四个数字，而末位数是由四舍五入得出的. 在《四位数学用表》中的平方根表（第27页至31页，表 XII),是把1.00到99.9的各个数的算术平方根编列成的. 下面举例来说明这个表的用法. 例1.求√/1.65 [解]从《四位数学用表》第27页的表里最左边的标有“”的这一直行中，找出被开方数的前两位数1.6，从这个数横着向右看，查到顶上第一横行里标有数字5的一行，得到 1.285,这就是1.65的近似算术平方根 √/1.65≈1.285. 0 1 6 8 123456789 1.61.2251.2201.2331.2971.2411.2451.2491.2631.2571.26101122234 1.61.2651.3691.2731.277{1.2811.2851.2881.2921.2961.80001122833 1.71.3041.3081.3111.811.8101.3231.371.3901.384/1.338c1123333 1.81.3421.8451.3491.3531.8661.3601.3641.3671.711:876011122333 1.91.378h1.382.886h.381,8981.3061.4001.4041.4071.411l011122838 2.01.4141.4181.4211.421.4281.4921.4351.4301.4491,446 11128]288 8.11.4491.488451.4891.4631.4661.4701.4731.4761.480o11122i283 例2.求√16.5. [解]从第29页的表里最左边的标有“N”的这一直行 中，找出被开方数的前面两位数16，从这个数横着向右看，查到顶上第一横行里标有数字5的一行，得到4.062，这就是 16.5的近似算术平方根. .W16.54.062 ·162● ==========第170页========== 8 128466789 163.8733.8863.8999.9123.9243.9373.9503.9623.9759.987346689o 4.004.0124.0254.0974.0504.0624.0744.0874.0094.111184667910名 174.1234.1954.1474.1594.1714.1834.1954.2074.2194.231 24567810S 184.2434.2644,2664.2784.2904.3014.3134.3244.3364.347J1235878910 194.3694,3704.3824.9934.405{4.4164.4274.4884.4604.461 19 204.4724.4834,4944.8064.5174.6284.5994.6504.5614.57212846z80.10214,5834,834.6042.6154.6264.6374.6484.6884.6694.6801384568910从上面两个例子可以看出，查平方根表的时候，必须注意被开方数的小数点的位置.例如，√1.65和√16.6的查法就不同，因为1：65的整数部分只有一位数，而16.6的整数部分有两位数，所以在查平方根表时就要在两个不同的地方去查. 说明在表的底下一行和顶上一行标有同样的“N”和0到9十个 数字，它的作用只是为了在用到表的下半部分的数时查看方便，并且可以避免看错格子，造成错误. 我们在平方根表里，看到表的右边有九行小格子，这叫做修正值，是用来计算被开方数的第四个数字的。也就是说，利用修正值，我们可以查出有四个数字的被开方数的平方根.现在看下面的例子. 例3.求W15.73. 现在被开方数15.73有四个数字，但是按照上面两个例的那样查法，平方根表里只能查出三个数字，就是15.7，那末第四个数字3怎样查呢？这就要利用修正值 【解1·先按照上面例子中所讲方法查出√15.7≈3.962(就是标有15”的横行与顶上标有“7”的直行的交叉地方的数值).再从标有“15”的横行向右看，查到表的右边的修正值这 一部分里顶上标有数字3的一行（就是从表的最右边算起的 ●183● ==========第171页========== 第七行)，得到修正值是4，因此要在3.962的未位数上加上 4.就是 3.962+0.004=3.966 .16.73≈3.966 如果要查四位以上的数的算术平方根，因为超出了四位数学用表可以查的范围，所以先要把这个数根据四舍五入法则变为从第一个不是零的数字起只有四个数字的数，再按上面方法查表. 例4.求√46.082 [解1按四舍五入法则，46.082≈46.08. .∴.√46.082≈√46.08 先在第30页的表中查出√46.0≈6.782，再在修正值部分找到相应于8的修正值是6，所以 6.782+0.006=6.788 ,.√46.082≈6.788 习题48(1) 利用平方根表，求下列各数的近似算术平方根： 1.2.76 2.5.89. 3.8.57. 4.1.08. 5.18.9, 6,37.4. 7.45. 8.50.5. 9、2.087. 10.8.649, 11.17.58. 12.42.06. 13.66.66 14.90.17, 上面四个例子里的被开方数都是大于1小于100的数，现在来研究大于100和小于1的各数的算术平方根的查法.这里只讲这些数的算术平方根的查表方法，至于为什么可以 01840 ==========第172页========== 这样查的原理，留在第六章根式中再来说明 利用平方根表求大于100或者小于1的数的算术平方根的方法是 如果这个数大于100，因为不能直接从表里查出它的算术平方根，所以先把它缩小100倍、10000倍或者1000000倍、…(就是把小数点向左移动两位、四位或者六位、…)，变成表里查得到的数，查出这个数的算术平方根后，再把这个算术平方根相应地扩大10倍、100倍或者1000倍、…（就是相应地把小数点向右移动一位、两位或者三位、…)，这样就得到原来这个数的近似算术平方根了. 如果这个数小于1，先把它扩大100倍、10000倍或者1000000倍、…（就是把小数点向右移动两位，四位或者六位、…)，变成表里查得到的数，查出算术平方根后，再把它相应地缩小10倍、100倍或者1000倍、…（就是相应地把小数点向左移动一位、两位或者三位、)，这样就得到原来这个数的近似算术平方根了。 现在举例来说明。例6.求√739. 【獬]因为表里不能直接查出739的平方根，所以把739缩小100倍（就是把小数点向左移动两位），得到7.39.从第28页的表中查得√7.39≈2.718.然后把2.718扩大10倍，就是把2.718的小数点向右移动一位，得到27.18. .∴.739≈27.18. 例6.求√8256， [解】把小数点向左移动两位（就是把8256缩小100倍)，得到82.56.从第31页的表中，先查出√82.5≈9.083，再查得相应于6的修正值是3，那末9.083+0.003=9.086， et650 ==========第173页========== 所以√82.66≈9.086.把9.086的小数点向右移动一位，就得到90.86. ..8256≈90.86. 例7.求√0.0236 [解1·把0.0236的小数点向右移动两位（就是把0.0236扩大100倍)，得到2.36.从第27页的表中，查出√/2.36≈1.536.然后把1.536缩小10倍，就是把1.536的小数点向左移动一位，得到0.1536. .∴.√0.02360.1536. 例8.求0.004762 [解1把0.004762的小数点向右移动四位（就是把 0.004762扩大10000倍)，得到47.62.从第30页的表中，查出√47.6≈6.899，相应于2的修正值是1，那末6.899+ 0.001=6.900,所以√47.62≈6.900.把6.900的小数点向左移动两位，得0.06900. ,∴.√0.004762≈0.06900. 说明本题如果还是把小数点向右移动两位，那末得到0.4762，这个数在表内还是查不到。 习题48(2) 利用平方根表，求下列各数的近似算术平方根： 1.345.7. 2.536.9 3.790.8. 4.917.7。 5.4853, 6.2408, 7.8063, 8.74090, 9.0.0432. 10.0.07461. 11.0.002819, 12.0.5805, 13.0.7483. 14.0.0006705 ●166e ==========第174页========== §49立方根表和它的用法 关于数的开立方的一般方法，因为比较复杂，并且应用也不大，所以本书不作讲解。现在只讲怎样利用立方根表来求 一个数的立方根 《四位数学用表》里，从第38页到44页有立方根表，它是把0.10到99的各个数的立方根编列成的.跟平方根表一样，表中所查出的立方根，通常也是近似根.。立方根表的查法和平方根表的查法相类似，只是被开方数扩大或者缩小时，小数点移动的位数是不同的。下面举例来说明这个表的用法. 例1.求/0.214. 【解1从第8页的表里最左边标有“N”的这一直行中， 找出0.21，横着向右查到顶上标有数字4的一行，得到 0.5981,这就是0.214的近似立方根. ../0.214≈0.981， 例2.求/2.14. 【解1从第40页的表里最左边标有“”的这一直行中，找出2.1，横着向右查到顶上标有数字4的一行，得到1.289，这就是2.14的近似立方根 .3/2.14≈1.289. 例3.求38/21.4 [解]从第42页的表里标有“N”的这一行中，找出21， 横着向右查到顶上标有数字4的一行，得到2.776，这就是 21.4的近似立方根. .∴.3/21.4≈2.776. 如果被开方数小于0.10或者大于100，可以仿照求平方 •167g ==========第175页========== 根的方法把被开方数经过扩大或者缩小后，由查表求得它的立方根. 利用立方根表求大于100或者小于0.10的数的算术立方根的方法是： 如果这个数大于100，先把它缩小1000倍、1000000倍、…(就是把小数点向左移动三位、六位、…)，变成表里查得到的数，查表得到算术立方根后，再把它相应地扩大10倍、100倍、…（就是相应地把小数点向右移动一位、二位、……),这样就得到所要求的算术立方根了. 如果这个数小于0.10，先把它扩大1000倍、1000000倍、…（就是把小数点向右移动三位、六位、…），变成表里查得到的数，查表得到算术立方根后，再把它相应地缩小10倍、100倍、…（就是相应地把小数点向左移动一位、二位、…),这样就得到所要求的算术立方根了。现在举例来说明例4.求4300 【解]因为表里不能直接查出4300的立方根，所以把4300缩小1000倍（就是把小数点向左移动三位），得到4.3.从第41页的表中，查得/4.3≈1.626.然后把1.626扩大10倍，就是把1.626的小数点向右移动一位，得到16.26. .∴.8/4300≈16.26 例5.求3/63740 【解]把小数点向左移动三位（就是把63740缩小1000倍)，得到63.74.因为在立方根表里只能查三个数字的立方根（没有修正值部分），现在63.74是四个数字，所以要先把它 四舍五入变为三个数字，得到63.7，就是/3.74≈/63.7.， 、从第43页的表中，查得/63.7≈3.994，把3.994的小 ·168· ==========第176页========== 数点向右移动一位，得到39.94. .∴.3/63740≈89.94. 例6.求8/0.000278 [解]把0.000278的小数点向右移动三位（就是把 0.000278扩大1000倍)，得到0.278.从第38页的表中查得/0.278≈0.6527.然后把0.6527的小数点向左移动一位，得到0.06527. .∴./0.000278≈0.06527. 例7.求/-52i1. [解]根据方根的性质，我们知道，负数的立方根是一个负数，所以/一621=一3521.这样，我们就可以利用立方根表先求出521的立方根，再取它的相反的数就可以了. 把521的小数点向左移动三位，得到0.521，从第39页的表中查得/0.521≈0.8047，把0.8047的小数点向右移动 -位，得到8.047，那末3621≈8.047， ∴./-521≈-8.047， 习题49 利用立方根表，求下列各数的近似立方根： 1.8.7. 2.35, 3.900. 4.2750 5.69380 6.0.00483 7.-70 8.-742. 9.-0.042。 10.-0.08007。 本章提要 1.方根的性质 ·169· ==========第177页========== 被开方数a 根指数% 方 根 n是奇数 只有一个正数 a>0 n是偶数 有两个互为相反的数 a=0 n是奇数或偶数 零 n是奇数 只有一个负数 a<0 ”是偶数 没有意义 2.算术平方根 Vo-la!-1-a(当a≥0的时候)， (当a<0的时候)。 8.数的开平方 (1)利用逆运算关系（适用于一些简单的完全平方数）； (2)一般方法； (3)查平方根表法. 4.数的开立方·查立方根表法 复习题四 1.下列语句是正确的还是错误的？为什么？ (1)-5的平方是25； (②)-49的平方根是-7； (3)-1的立方根是-1； (4④)（-5)2的算术根是-5。： 2.求下列各式的值： (1)√m(n=-》:②)V尔(a-g》 (3)√(4a-36(a=2,b=3)；(4④)√(2m-3m乎(3m>2m). 3.计算下列各式： (1)√(a-2-√(3-a)(a>3)月 [提示：根据a>3的条件，分别求两个方根的值，再行计算.】 (2)√(5-2m)-√(m-4)(m>5). ·170● ==========第178页========== 4.x是什么值的时候，下列各式有意义： (1)V√2c-3; (2)√x2-4; (3)√E・√+1; (4)√x(-1). [提示：第（②）题要考虑心的正负两个数；第（④）题要分别考虑x是正数和负数两种情况.] 5.x是什么值的时候，下列各式没有意义： 1 (1)x-5; (2) (3)√/E+V/-x; 1 (4)1-√/花 [提示：第（②），(4)两题要考虑分母等于零时，分式没有意义；第 (3)题要考虑两个方根√花和√一x共同的条件.] 6.利用开平方法求下列各数的近似算术平方根，精确到0.001，并且写出它的不足近似值和过剩近似值： (1)V3.562; (2)√0.374 7.利用平方根表或者立方根表求下列各题的值： (1)√17.468； (2)√0.43592； (3)/4359; (4)/0.02807 8.一个长方体的木箱，它的底是正方形.木箱的高是1.25米，体积是2.178立方米，求这木箱的底的每边的长，（精确到0.01米.） [提示：长方体的体积等于底面积乘以高.] 9。一个比例的两个外项分别是1品和器，两个内项是相等的 正数，这两个内项各是多少？ [提示：根据比例的性质，两个内项的乘积等于两个外项的乘积.] 10.如果圆的半径是，那末圆的面积用公式A=2来计算.当 圆面积A=200平方厘米时，半径：是多少厘米？（匹取3.14，y精确到 0.01厘米.) 山，如果球的半径是？，那末球的体积用公式V=号来计算.当 球体积V=500立方厘米时，半径？是多少厘米？（匹取3.14，T精确到 0.01厘米.) ●171" … ==========第179页========== 12.把一个长方形的长和宽分别扩大相同的倍数，使面积扩大40倍，求长和宽分别扩大的倍数.（精确到0.1.） [提示：设长方形的长和宽分别是“和b,扩大的倍数是k,列出方程再解] 172◆ ==========第180页========== 第五章实数 §51无理数 1.无理数的意义过去我们已经学过下面几种数.在算术里，学过正整数、零、正分数（包括正小数）；在代数第一册里，又学过负整数、负分数（包括负小数），这些数统称有理数所有这些有理数可以概括成两种形式： (①)有限小数.整数（包括正整数、零、负整数）可以看作小数点后面是0的小数，例如3可以看作3.0.一个最简分数，如果它的分母只含有质因数2,5的时候，这个分数一定可以化成有限小数.例如， 是=0.5，号-0.6，=0.49 99 (-2x2x5） (2)无限循环小数.一个最简分数，如果它的分母中不含有质因数2,5，或者含有质因数2,5但同时也含有其他质因数，那末这个分数一定可以化成无限循环小数.例如， 寻-0.331高-0466器-0.2828 但是在实际问题中，我们还会遇到不能用这种形式表示 的数.例如，用长度单位CD去度量线段AB,结果可以有下 面几种情况： (1)CD恰好量尽AB、例如用CD去量AB,量了6次， 建730 ==========第181页========== 恰好量完（图61）.这时AB的长度就是6个单位长.这里， 数6是一个整数. 图51 (2)CD不能量尽AB.例如用CD去量AB,量了4次 后，剩下一段4B,它小于CD,再用0CD(就是长度单位的 0)去最A'B,摄了5次后，剩下一段4"B,它小于六OD, 再用CD(就是长度单位的0)去量4”B,盘了7次恰 好量完（图5·2）.这时AB的长度就是4.57个单位长.这 里，数4.57是-个有限小数，也就是一个分数 A AW B 图52 注A'读做“A撇”；A”读做“A两撇”. (③)CD不能量尽AB.按照上面（②）的办法，把CD分 成10等分、100等分、…，继续量下去，始终量不尽，总有剩 余，得出来的数是循环小数.例如CD的长是1米，AB的长 是5尺（就是号米，因为1米等于3尺），用CD去盘AB,那 末AB的长度就是1.66…个单位长。数1.66…是一个无限 循环小数，也就是一个分数分5 ·174· ==========第182页========== (4)GD不能量尽AB.仍旧按照(2)的办法去量，但是 始终有剩余，并且不能得出一个无限循环小数。例如有一个 正方形ABCD(图5.3)，CD是这个正方形的一边，AC是这 个正方形的对角线，根据勾股定理①，我们知道 AC2-CD2+AD2 .·CD=AD, '.AC2=2CD2, 就是 AC-2CD 如果用CD去量AC,就得到 W2, 图53 在第四章里，我们学过，把2开平方，开方计算可以无限地进行下去，并且得出的无限小数1.41421…是不循环的.从上面四种情况来看，前三种情况里所得的数，不是整数，就是有限小数或者无限循环小数（它们都可以写成分数的形式)，这些数都是有理数 最后一种情况里所得的数是一个无限不循环小数，这是 一种新的数.我们把这种数叫做无理数.就是：无限不循环小数叫做无理数 √z是一个无理数.除此之外，象√3，/工，√2+1，2√5，一/6等也都是无理数。圆周率x=3.14169也是无理数. ①我国古代把直角三角形的两条边的短的一边叫做句（勾），长的一边叫做股，斜边叫做弦（如图）。秦朝以前的一部古代数学书“周髀算经”里载有“句广三，股修四，径隅五”意即勾2+股？一弦2，这就叫做勾股定理。勾股定理在本丛书平面几何第二册里会详细讲到。 股 ●17· ==========第183页========== 注意开方得到的数并不都是无理数，因为有些数是开方开得尽 的数阀如-2，@7-3，V凭-是0函-语-名-0.6 等等，这些数都是有理数。而无理数并不都是从开方得到的，例如上面所说的圆周率元。也就是说，开方开不尽的数都是无理数，而无理数就不一定是开方开不尽的数 从上面所讲的，我们知道，有理数都可以用有限小数或者无限循环小数来表示，而有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，所以有 理数都可以写成册的分数形式，这里m是整数，是自然数：但是无理 数就不能够写成这种形式.这是有理数和无理数的根本的区别. 2,无理数的近似值上一节里讲过，因为无理数是无限不循环小数，所以用小数形式，我们不可能把它全部写出来，但是我们可以按照某种法则确定它的任何一个数位上的数字.例如，我们用开平方的方法就可以确定√2的个位上的数字是1，十分位上的数字是4，百分位上的数字是1，千分位上的数字是4，等等. 在实际应用时，·我们可以根据需要取无理数精确到某一位的近似值（不足近似值或者过剩近似值），这样得出的近似值是有限小数.例如， (1)√/2=1.41421…， 因此，√2的精确到0.1,0.01,0.001,0.0001的不足近似值和过剩近似值，可以列表如下： 精确度 0.1 0.01 0:001 0.0001 2的不足近似值 1.4 1.41 1.414 1.4142 √2的过剩近似值 1.5 1.42 1.415 1.4143 两个近似值的差 0.1 0.01 0.001 0.0001 ·178· ==========第184页========== (2)元=3.14159265· 因此，元的精确到0.01,0.001,0.0001的不足近似值和过剩近似值，可以列表如下： 精确度 0.01 0.001 0.0001 的不足近似值 3.14 3.141 3.1415 :的过剩近似值 3.15 3.142 3.1416 、两个近似值的差 0.01 0.001 0.0001 从上面两个表里，我们可以看到，同样精确度的过剩近似值和不足近似值的差，等于所取的小数最末一位的一个单位。这样，如果知道某一个无理数的不足近似值和过利近似值中的任何一个，就可以得出另一个来. 例如，知道3精确到0.01的不足近似值是1.73，那末√3相应的过剩近似值就是1.73+0.01=1.74；如果知道√⑧精确到0.001的过剩近似值是1.733，那末√相应的不足近似值就是1.733-0.001=1.732 一个无理数的准确值，永远介于它的不足近似值和过剩近似值之间，增加不足近似值和过剩近似值的小数位数，就可以提高近似值的精确度：需要怎样精确度的近似值，这就要由实际问题的性质来决定， 习题51 1.回答下列各题，并且说明理由： (1)整数是有理数吗？有理数都是整数吗？为什么？ (2)小数是有理数吗？小数是无理数吗？为什么？- (③)开方开不尽的数是无理数吗？无理数都是开方开不尽的数吗？为什么？ 2。下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？ ●177。 ==========第185页========== 1H6,V,V7;V,-属，-3引： 0.3333…;0.5714357143:-W10;2元 3.(1)求元=3.1415926535…精确到0.01,0.0001,0.00001， 0.0000001的不足近似值和过剩近似值； (2)求√5精确到0.1,0.01,0.001,0.0001的不足近似值和过剩近似值. [提示：先用开平方的方法计算√5的值.] 4.(1)已知√2.71精确到0.01的不足近似值是1.64，求它的相应的过剩近似值； (2)已知√22.146精确到0.001的过剩近似值是4.706，求它的相应的不足近似值 §52实数 1。实数的意义上两节里学过了无理数，这样，我们把数的概念扩展了，就是说，把数的范围从原来知道的有理数，增添了一种新的数一无理数。有理数和无理数总起来叫做实数。 我们把所学过的各种数，用下面的表表示出来： 「整数（正整数，零，负整数） 有理数 有限小数或者无限循环小数 实数 分数（正分数，负分数）无理数一一无限不循环小数 从这个表里，我们可以看出，实数都可以用有限小数或者无限小数表示；其中用无限不循环小数表示的数，就是无理数. 在本丛书的代数第一册里，我们知道，具有相反方向的量，可以分别用正有理数和负有理数来表示。对于无理数，同 ◆178· ==========第186页========== 样也可以区分正无理数和负无理数.因此，对应于每一个正实数就有一个和它相反的负实数.例如，5和一5是两个相反的数，√2和一√2也是两个相反的数，π和一匹也是两个相反的数. 2。实数的绝对值实数的绝对值的定义和有理数的一样：正数的绝对值就是它本身，负数的绝对值是和它相反的数，零的绝对值还是零.例如， |√2{=W2,|-√2|=√2， 一般地说，实数a的绝对值是. a'(当a>0时)， 0(当4=0时)， -a(当a<0时). 3。用数轴上的点表示实数在有理数里，我们已经学过，所有有理数都可以用数轴上的点来表示.但是，数轴上所 有的点并不都能用有理数来表示.例如，在数轴上，从原点O 起向右截取一线段OM(图54)，使它的长度等于每边长是一 个单位的正方形的对角线的长.因为根据勾股定理，OM的 长是√2个单位，所以M点就不能用有理数来表示.当我们 引进无理数之后，数轴上的这种点，就可以用无理数来表示。 由此可以看到，数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示它、 图54 ·179· ==========第187页========== 反过来，每一个有理数都可以用数轴上的点来表示，同样，每一个无理数也都可以用数轴上的点来表示.这就是说，每一个实数都可以用数轴上的点来表示 根据上面所说的，归结起来说，把有理数扩展到实数以后，数轴上的每一个点，都可以由唯一的一个实数来表示；反过来，每一个实数，都可以用数轴上的唯一的一个点来表示。换句话说，实数和数轴上的点是一一对应的. 由于每一个实数都可以用数轴上的雌一的一个点来表示，所以实数的绝对值也可以说是：实数a的绝对值@，就是在数轴止表示a这个点和原点间的距离. 4。实数大小的比较和有理数的情形一样，实数在数轴上表示出来以后，我们仍旧可以利用数轴上的点的位置关系来规定怎样比较两个实数的大小 设有两个实数a和b,并且设数轴上的A点表示实数a, B点表示实数b(图5.5)， B B 图55 利用A,B两点在数轴上不同的位置关系，我们规定实 数的大小： 如果A点在B点的左边，我们说，a小于b,写成ab ·180● ==========第188页========== 从这个规定我们得到： (1)任何正实数都大于零，任何负实数都小于零，任何正实数都大于任何负实数 (②)两个正实数比较大小，先比较整数部分，如果对应数位上的数字都相同，那末这两个正实数相等；如果整数部分不同，那末整数大的正实数较大；如果整数部分相同，而小数第 一位不同，那末小数第一位大的正实数较大；如果小数第一位也相同，就比较第二位小数，那末小数第二位大的正实数较 1 大；以下依次类推 (3)两个负实数比较大小，看它们的绝对值，如果两个负实数的绝对值相等，那末这两个负实数相等；如果两个负实数的绝对值不等，那末绝对值大的负实数较小。 例1.比较品和-的大小[：능>0， -π-花. 1、 例2.比较4.7956和√23的大小 [解]..W23=4.7968…, 4.7956<4.79δ8； .4.7956<23 例3.比较西和3 355的大小， [解1··元=3.1415926…， 355=3.1415929 113 面 3.1415926.…<3.1415929… ◆181.◆ ==========第189页========== .亦<36 113 例4.比较-V而和-的大小 [解].·-√10=-3.162， 、12=-3.168； 6 而 -3162…>-3.166…, ∴.-10>-19 6 说明在比较实数的大小时，小数位数需要计算几位，要看题目的具体情况而定.例如第2题中，√②⑧要取4.7958·，因为小数部分第 一位、第二位、第三位和4.7956都相同，如果不计算到小数第四位，就无法比较大小.又如例3，因为小数部分第一位到第六位都相同，所以必须计算到第七位，才能看出它们的大小.例4中，只要计算到小数部分第三位就可以了. 习题52 1.(1)有理数都是实数吗？实数都是有理数吗？为什么？(②)无理数都是实数吗？实数都是无理数吗？为什么？ 2.用不等式表示下列各组数的大小： (1)3.14159和3.1416； [解法举例：3.14159<3.1416.] (2)0.13762…和0.13563…； (3)5.368971…和5.369； (4)1.5和-1.555； (5)-2.5353…和-2.53545G.; (@V历和5： (7)-√3和-1.731； ●182 ==========第190页========== (8)-/2和-1.262， 3.把√3和√5正确地在数轴上表示出来 [提示：利用直角三角形，根据勾股定理，先正确地求出√③和√⑤的线段长度来。例如，以1个单位长做直角三角形的一条直角边，2个单位长做斜边，那末另一条直角边的长就表示√3.然后在数轴上从原点起向右截取一段线段等于这条直角边的长。同样，以1个单位和2 个单位长的线段做直角边，那末斜边的长就是V5.] §5·3近似数概念 实数可以进行加法、减法、乘法、除法、乘方和开方等运算，遇到无理数的时候，通常应用较多的是取它的近似值来做有理数的运算.这样取的近似值就不是表示无理数的准确数值.下面我们来研究这些表示与准确数值相差不大的近似值的数. 1。准确数和近似数在算术里做除法的时候，有时能够整除，那末就得到准确的商；有时不能整除，如果要用整数和小数来表示商，那末就只能得到计算到某一位的近似商.例如， 69÷4=17.25 这里，17.25是准确的商.但是 3÷11=0.2727… 这里0.2727…是无限循环小数，只能取它的近似值；精确到 0.01的近似商是0.27（不足近似商）；精确到0.001的近似商是0.273（过剩近似商）. 同样，象前面求一个正的非完全平方数的平方根时，我们知道，1.73是√3的精确到0.01的不足近似值；1.733是√3的精确到0.001的过剩近似值. ●183◆ ==========第191页========== 象上面例子中的69,4,8,11,17.25等这种用来表示量的准确值的数，叫做准确数；0.27,0.273,1.73,1.733等这种用来表示量的近似值的数，叫做近似数. 上面说明，在某种计算中会产生近似数，除此之外，在日常计数和度量中也会产生近似数. (1)由于不必要知道准确数而产生近似数.当我们统计出席大会听报告的人数时，可以凭收到出席证的张数得到准确的人数，例如412人，这里412是准确数.但是如果有人问今天出席大会大约多少人？虽然可以说出谁确的人数，但是没有必要，我们回答说，今天出席大会约400人.这里400是近似数 ,(②)由于不容易得到准确数而只能得到近似数.例如要统计一个国家的人口，或者一个城市的居民人数，因为居民人数时刻在变化，我们就不容易得到一个准确数，只能得到一个近似数.例如，我们通常说，某地有65万人口，这里65万是近似数 ·,(3)由于不可能得到准确数而只能得到近似数.在测量长度、重量、时间等的时候，往往由于受到测量工具和测量技术的条件限制，我们一般只能得到近似数。例如某一线段的长是2.46米，某一物体的体积是8.5立方厘米，重14克，某人100米赛跑的成绩是11.8秒，这些数都是近似数. 在近似数的计算中，分清准确数和近似数是重要的，它是决定我们用近似计算法则进行计算，还是用一般方法进行计算的依据 2。近似数的绝对误差上一节里说过，统计出席大会听报告的实际人数是412人，412是淮确数；如果另一个大会到会的实际人数是388人，388也是推确数。根据需要，有时 ·1840 ==========第192页========== 我们可以说这两个大会到会的人数都大约是400人，400就是一精确到百位的近似数.那末，如果府近似数400来表示这两个大会到会的实际人数，这两个近似数和它们所代表的准确数都相差12. 一个近似数和它所代表的准确数的差的绝对值，叫做这个近似数的绝对误差 如果用表示近似数，A表示它所代表的准确数，△表示 近似数a的绝对误差①，那末 4=A-a. 例如，上面例子里，近似数400的绝对误差是4=412-400=12;4=|388-400=12. 在很多情况，由于准确数不能求得，所以就无法知道一个近似数的绝对误差.但是根据问题的具体条件，我们往往能够确定或者规定绝对误差不超过某一个范围，也就是说，能够确定绝对误差的最大限度.例如用米尺来量某一零件的长度时，我们可以保证量得的长度，使误差不超过米尺上最小刻度的一半，例如不超过0.5毫米.这样，就可以使近似数所产生的误差在我们允许的范围之内，保证了近似数的精确度.很明显，绝对误差不超过的这一个范围越小，近似数就越接近推确数，也就是说，近似数的精确度越高 习惯上，我们经常把绝对误差不超过的这个范围，附以正负号用括号写在近似数的后面，用来表示它的精确度.例如，近似数5.28，知道它的误差不超过0.005，.那末就写成：5.28(士0.005).又如，一根钢丝的近似长度是32厘米，它的误差不超过0.5厘米，那末，钢丝的长度可以写成：32厘米（土0.5厘米) ①△是希腊字母，读做Delt。 ·1&5· ==========第193页========== 3。近似数的截取方法在计数、测量、计算中都会产生近似数，它们都是根据实际需要，对一个量的准确数截取到某一数位得来的。近似数的截取方法最常用的是四舍五入法①.这就是 把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数字全部舍去，如果舍去的第一位数字是5或者大于5，在保留的最后一位数字上加1；如果舍去的第一位数字小于5，保留的数就不变 例如，匹=3.14169…用四舍五入法截取到百分位，就得到π的不足近似值3.14；截取到万分位，就得到π的过剩近似值3.1416. 从近似数的绝对误差来看，我们可以知道，用四舍五入法得到的近似数的绝对误差，不会超过最末一个数位上的半个单位.例如，取=3.14，它的绝对误差不超过0.005；取元= 3.1416,它的绝对误差不超过0.00005. 例1.用四舍五入法把下列各数截取成精确到0.01和 0.001的近似数；并且说出它们的绝对误差不超过多少？ (1)2.6516613 (2)5 1 [解1(1)2.65161… 精确到0.01，得到2.65；它的绝对误差不超过0.005 ①近似数的截取方法常用的还有两种： 1。去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数字全部舍去例如，3.14159用去尾法截取到千分位，就得到近似数3.141. 2.进一法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数字全部舍去，但是如果舍去的数字不都是零，那末在保留的最后一位数字上加1。例如， 5.43106用进一法截取到千分位，就得到近似数5.432。 .●186。 ==========第194页========== 精确到0.001，得到2.652；它的绝对误差不超过0.0005。 유-0.454。 ②) 精确到0.01，得到0.45；它的绝对误差不超过0.005精确到0.001，得到0.455，它的绝对误差不超过0.0005 习题53(1) 1.把下列各数用四舍五入法写成指定精确度的近似数： (1)3.14159(精确到0.001)；(2)1.7321（精确到0.01）； (3)0.47712(精确到0.001)；(4)5476（精确到100）； (5)753600(精确到1000). 2.把下列各数四舍五入到括号里指定的数位；并且说出它们的绝对误差不超过多少？ (1)6.478(精确到0.01)；(②)4易（精确到0.1）； (3)849.57(精确到1)； (4)101.32(精确到0.1). 4。有效数字上一节里讲过，用四舍五入法截取得到的近似数的绝对误差，都不超过近似数的末位的半个单位。在这类近似数里，从第一个不是零的数字起到保留的数位为止，所有的数字都叫做有效数字.例如， 0.0016有2个有效数字1,6； 1.60·有3个有效数字1,6,0； 1.6·有2个有效数字1,6： 应该注意，1.6和1.60是两个不同的近似数.近似数 1.6可以代表所有大于或者等于1.55而小于1.65的数.例如，1.57≈1.6,1.64≈1.6.但是近似数1.60只可以代表所有大于或者等于1.595而小于1.605的数，它就不能代表 1.57或者1.64.这就是说，1.60的精确度比1.6的蒂确度高。 。187● ==========第195页========== 如果一个近似数是整数，而且末尾带有儿个零，就不能够直接看出它究竟有儿个有效数字.这时就必须指明这个近似数精确到哪一位，才能够知道它有几个有效数字，例如，15000精确到百位，那末它有3个有效数字1,5,0，而十位和个位上的0就不是有效数字，所以要用15000（士50）来表示，或若写成1.0×104.如果15000精确到十位，那末有4个有效数字，要用1.500×104或者15000（±）来表示.如果15000精确到千位，那末就只有2个有效数字，就应该用1.5×104或者15000（士500）来表示. 例2.用四舍五入法，把下列各数写成有3个有效数字的数，并且说出它们的绝对误差不超过多少？ (1)5.3248; (2)0.6S971; (3)29 1 (4)3072.5. 【解](1)5.32，它的绝对误差不超过0.005. (2)0.690;它的绝对误差不超过0.0005， (倒2是=2.8181，写成2.62它的笔对误差 不超过0.006 (43.07×108或者写成3070（精确到10）；它的绝对误差不超过5. 例3.已知某物体的重量是42.5公斤（±0.05公斤），那末这物体的重量介于哪两个重量之间？ 【解】根据题意，知道这物体的重量的绝对误差不超过 0.05公斤，所以这物体的重量介于42.45公斤和42.56公斤 之间.如果用不等式表示，设物体的重量是W,那末 42.45≤W<42.55。 ·188◆ ： ==========第196页========== *5。近似数的相对误差在本节的（②）里讲过，一个近似数的精确度，可以用它的绝对误差来判断：绝对误差越小，精确度就越高但是如果有两个或者两个以上的近似数，要比较它们的精确度，仅仅从绝对误差的大小来看，就不能够作出肯定的结论、例如，称10吨煤，差了10公斤，关系不大；如果称100公斤煤，差了5公斤，关系就比较大了，我们单从绝对误差来看，前者差了10公斤，后者只差5公斤，.显然，10公斤比5公斤大，那末就会得出这样的结论：前者的精确度不及后者的高.可是我们算一下，称10吃煤时虽然有较大的绝对误差10公 斤，但是这个误差只是心重显的0-0.1%；而称100公斤煤时，10 虽然绝对误差只有5公斤，但是这个误差却是总重量的5%.这就说明在判断度量的精确程度时，不仅和绝对误差的大小有关，而且还和所度量的量的本身大小有关.也就是说，在判断近似数的精确度时，我们不仅要知道它的绝对误差，而且要知道这个绝对误差和准确数或者近似数本身的比， 近似数的绝对误差和近似数本身的比，叫做近似数的相对误差 如果用“表示近似数，A表示这个近似数的绝对误差，K表示这个 近似数的相对误差，那末 =4 说明照理，我们应该把近似数的绝对误差和准确数的比A,叫 做近似数的相对误差，但是由于准确数A经常是不知道的，所以在计算 中应用不大，因此用它的近似数来代替.由于ā很接近于A,所以这样 的规定，对计算相对误差的结果影响很小，因此，区=台或者区=兰可 以通用. 由于近似数的绝对误差△经常不能确定，只能知道它不超过某一 个范围，因此相对误差K也还是经常不能确定，只能知道它不超过某一 个范围. 近似数的相对误差总是一个不名数，通常用百分数来表示，并且一般只要用一个、两个数位就够了. 例4.下列各数都是用四舍五入法截取得到的近似数，计算它们的 ·1e9· ==========第197页========== 相对误差不超过多少？ (1)a1≈12.5；(2)a2≈1.25；(3)ag≈0.125. 【解)根据四舍五入法则，a1的绝对误差①4，不超过0.05，a2的绝对误差4，不超过0.005，ag的绝对误差4。，不超过0.0005 (1)4,=0.05, K。=4=0.05 a112.5=0.4%; (2)4,=0.C05,,= 0.005 a21.25=0.4%； (3)4,=0.005,K-4=0.005-0.4%. a30.125 所以这三个近似数的相对误差都不超过0.4%，例5.求下列近似数的相对误差不超过多少？ (1)a1≈324； (2)a2≈92； (3)ag≈11 【解】(1)4,=0.5,∴.Ka,=07-2%<01%: (2)·4,=0.5,.,=0.5=50%<0.55%; )4,-056: ,운-8<463 所以近似数324的相对误差不超过0.16%，近似数92的相对误差不超过0.55%，近似数11的相对误差不超过4.6%. 说明·在计算K,时，我们用的是进一法.如果算得精确些，可以 得到Ka,=0.154%,我们把它看成相对误差不超过0.16%是合理的；但是用四舍五入法取不足近似值0.15%，把它看成相对误差不超过 0.15%,就不符合事实了.同样，在计算K,和K,时，也是按照这个精 神，只能用进一法取它的过剩近似值. 例6.测量一条马路，童得它的长a是954米，它的绝对误差不超、过0.5米；宽b是20米，它的绝对误差不超过0.05米.这两个测量结果，哪一个精确？ [解]a≈954米，4.=0.5米， 。80-9%<06%, ①4a,表示a1的绝对误差，K。表示a1的相对误差， ·190" ==========第198页========== b≈20米，4。=0.05米， 五-005=5%-025%. 因为辽。0时)， 0(当a=0时)， l-a(当a<0时) (④)实数和数轴上的点的一一对应关系。 2.近似计算 (1)近似数的绝对误差4=|A一a, (②)近似数的相对误差K=4 (3)有效数字以及有效数字和绝对误差的关系。 (4)近似计算法则(i)近似数的加减法则；(i)近似数的乘除法则；(iii)近似数的乘方开方法则。 ·210◆ ==========第218页========== B.求近似值的公式(a比1小得多) (1)(1+a)2≈1+2a;(1-a)2≈1-2a (2)(1+a)3≈1+3a;(1-a)8≈1-3a. (3)(1+&)1+b)≈1+a+b;(1-a)(1-b)≈1-a-b; (1+a)(1-b)≈1+a-b. ④。1-是 1ー≈1+a. 复习题五 1.(1)是不是所有的无理数都是无限小数？为什么？(②)是不是所有的无限小数都是无理数？为什么？ 2.()正整数和正分数总称什么数？负整数和负分数总称什么数？ (②)正有理数、负有理数和零总称什么数？ (3)有理数和无理数总称什么数？ 3.(1)对于任意两个实数，是不是都能够进行加、减、乘、除、乘方的运算？ (②)在实数范围里永远可以开奇次方吗？在有理数范围里呢？ (3)在实数范围里永远可以开偶次方吗？ 4.在加、减、乘、除、乘方和开方六种运算中，哪些运算在正有理数范围里都能实施？哪些运算在有理数范围里都能实施？有些什么例外？哪些运算在实数范围里都能实施？有些什么例外？ 5.回答下列各个问题： (1)如果a>0,b<0,那未a,b两数中哪一个大？ (2)如果a<0,b<0,而且a|>b!,那末a,b两数中哪一个大？ (3)如果a0,b>0;a<0,b<0;a<0,b>0三种情况来讨论.] 6.用四舍五入法，把下列各数写成有3个有效数字的数，并且说出它们的绝对误差不超过多少？ 5.7649；3086.5;0.2493; V4g6,32.612. ·211· ==========第219页========== 7、一条线段AB的长是1.47米（±0.005米），那末AB的长介于 哪两个长度之间？ *8，测量755米的长度，绝对误差不超过10米；另一次测量8米的 长度，绝对误差不超过10厘米.两次测量中哪一次精确度高？ 9,按照近似数的计算法则，计算下列各题： (1)34.06-4.5289+0.64 +0.0073+21.0135; (2)7.03×104-3.5×103; (3)24.8×2.51439; 4.8尺 (4)寻+4.58-V5,(这里3,5 是准确数.) (⑤)√1⑤m;(这里15是准确数；结果要求精确到0.01.) 3.4尺 (6)2V3(这里2,3是准确 (第10题) 数，结果要求精确到0.01.) 10.一个窗户，上面是半圆形，下面是长方形，测得尺寸如图，计算它的透光面积（不计它中间的休格） 11.一个钢制零件，它的底面的直径(d)是4.3厘米，长()是35厘米，一端圆锥的高()是6,4厘米，求这个零件的体积和重量（钢每立方厘米重7.8克) [提示：函锥的体积=青×底面积×高] (第11题) ●212.● ==========第220页========== 第六章根式 §61根式的意义 在第四章里，我们已经知道，如果"=4，它就叫做a的n次方根。当%是奇数的时候，a可以是任何实数，并且规定用a(n为奇数)来表示这个方根；当%是偶数的时候，a可以是任何正实数或者零，并且规定用"a(为偶数)表示正的 一个方根，用-a(m为偶数)表示负的一个方根 式子a叫做根式.n叫做根指数，a叫做被开方数.例如，写，-8，厚√红，V,a习等都是根式 注我们也把式子ba叫做根式，这里，五叫做根式的系数我们知道，负数的偶次方根没有意义，因此，在式子”a里如果根指数%是偶数而被开方数4是负数，在实数范围里没有意义.例如，√8，等在实数范围里没有意义。例1.设⑧，y都是实数，下列各式在什么条件下才有意义？ (1)√；· (3)√1一； [解]（①）因为根指数是偶数，所以心必须是任何正实数或者零. (2)因为根指数是奇数，所以心可以是任何实数. •213• ==========第221页========== (3)因为根指数是偶数，所以1一y必须大于0或者等于0,就是1-y≥0. 解1-y>0,得到y<1; 解1-y=0,得到y=1; 把这两个结果合并起来，得到y≤1， (④因为根指数是偶数，所以子必须大于0或者等于 0.但是，}不可能等于0，只要“是任何正数，是就大于 0.因此，：可以是任何正实数. 注意x=0不在内. 例2.：是什么数值的时候，下列各式才有意义： (1)√1+； 1 [解)（①）因为不论心是什么实数，心都不是负数，所 以1+心>0，因此，当G是任何实数时，√1+心都有意义. (2)就根式c一1看，c可以是任何实数，但是，/c一1在分母上，如果/一1=0，将使这个分式没有意义.所以当 G=1的时候，虽然根式/c一1有意义，而原分式失去意义，因此x一1必须除掉。所以当心是不等于1的任何实数时，原式才有意义. 根据方根的意义，当a有意义的时候，式子a就表示一个数，它的%次方等于a.也就是说， 1 (a)"=a. 这里，%是大于1的整数. 因为一27=-/27=-3，/-2=-3/2，所以任何负数的奇次方根都可以化成和某一个算术根相反的数.这就是说，在求负数的奇次方根时，可以把负号移到根号的前面， ●214· ==========第222页========== 然后求正数的算术根. 由此可知，在根式a有意义的时候，根式a都可以改用算术根来表示。因此，我们研究根式的性质的时候，只要研究算术根的性质就可以了、 例3.把下列各式中的根式改用算术根来表示： (1)3/-5, (2)是-用. [解](1)/5=-/5； (2)是ー3-(-)-= 在本章里，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数，所有作为根指数的字母都表示大于1的正整数.例4.当2a<3b时，计算： √4a2-12ab+9b3 【解1先把根号里的被开方数4a2-12ab+9b3化成完全平方式 √4a2-12ab+9b3=/(2a-36)=|2a-3b. .,2a<3b,.2a-3b<0,∴.√4a2-12b+9b=|2a-36 =-(2a-3b) =3b-2a. 习题61 1.写出满足下列条件的一个根式：1)一个正数，它的平方等于15； (2)一个负数，它的平方等于15； (3)一个数，它的立方等于9； (4)一个数，它的立方等于一9。 ●215·'. ==========第223页========== 2.判别下列各式哪些是根式？哪些式子在实数范围里没有意义？ V-; V;V-0;품 3.设：，y都表示实数，下列各式在什么条件下才有意义： (1)√知=3； (2)Vx-y; (3).√x-; (4)V2x-5, (5)+1; /2 (⊙)√- (7)√ y (8)7 4.把下列各式中的根式改用算术根来表示： (1)/-15; (2) 5.求下列各式的值： (1)(V2T)2; (2)(/123)； (3)(√0.35)； (4)/1乎； (5) (. 6.根据括号里的条件，计算下列各式： (1)V/(5a-2b)(5a<2b); (2)√x2-2c+工(r>1); (3)√2-2x+1(然<1)； (4)√a2-2ab+b(a>b); (5)Va2-2ab+6.(a-8/27, ./-5>-√3. 习题63 1,把下列根式化成同次根式： (1)√5,7； (2)/②远，√3y; (3)2x,V5; (4)/3oy,2m; (5)/2mn,V√7m23; (⑥)2xy，/3g; (7)√元，/，； ③，4厂2658 (9)√エ+3，（エ+g）3,(+y)°；(10)/a-b,a2-,a2+b.(a>b) 2.不求方根的值，比较下列根式的大小 (1)√0：8和/0.7； 阅√和细； (3)√-3和-√2； (4)√5，/伍，123 §64乘积的算术根 我们看下面两个例子： (1)不求方根的值，判断√16×9和√/16×√9是否相等？ .(/16×⑨)3=16×9， (/16×√9)2=(W16)2×(√9)9=16×9， ,'.√16×9和W16×√都是16×9的算术平方根. ◆220· ==========第228页========== 但是16×9的算术平方根只有一个， .'.√16×9=/16×√9. (2)84×13和/4×3/13是否相等？ ·(4×13)8=4×13, (/4×/13)3=(/4)3×(/13)3=4×13,,.·3/4×18和8/4×3/1都是4×13的算术立方根，但是4×13的算术立方根只有一个， './4x13=/4×3/13 一般地说，· .'(ab)=ab, (a.b)”=(a)".(万)"=b, .ab和a.心石都是ab的%次算术根但是ab的%次算术根只有一个，所以得到下面的公式： ab-a.6. 应该特别注意，这个公式只能适用于算术根。根据这个公式，我们还可以推导出 abc-G.6.c 等等. 这就是说，乘积的算术根，等于乘积中各个因式的同次算术根的乘积. 例1.计算：√169×225， 【解1√169×225=/169×√225=13×15=195。例2.计算：(1)0.16，(2)3/27000 (3)√0.0367；(4)/673.9. 【解1(1)0.16=√16×0.0i=√16×√/0.01 =4×0.1=0.4。. ·221· ==========第229页========== (2)8/27000=8/27×1000=3/27×8/1000 =3×10=30. (3)0.0367=√3.67×0.01=√3.67×/0.01 ≈1.916×0.1=0.1916. (4)√573.9=√6.739×100=√/5.739×/100 ≈2.396×10=23.96， 从这两个例子可以看出，第四章里所学过的，在查平方根 表时，为什么数目N的小数点向左或向右每移动2位，它的 平方根的小数点要相应地向左或向右移动1位；查立方根表 时，为什么数目N的小数点向左或向右每移动3位，它的立· 方根的小数点要相应地向左或向右移动1位， 例3.计算： (1)W65=16, (2)8/-60×18×25. [解](1)应用两数平方差的公式来计算，可以简便。 √652-163=√(65+16)(65-16) =⑧1×49=/81×/49 =9×7=63 注意把这个式子化成V6-√16=65-16=49是错误的. (②)如果利用公式计算，乘积中的三个因数开立方都开不尽，所以先作因数分解，再行计算. /-60×18×25=-22.3.5×232×5 =-/2333X--3/×3/3×3 =-(2×3×)=-30 注意遇到求负数的奇次方根时，先把负号提到根号的前面。 习题64 1.下列计算有没有错误？为什么？ ●222◆. ==========第230页========== 1)/6a=-2a; (2)√+3=4+3=7。 2.计算下列各题： (1)√36a; (2)マ125yF; (3)/8×(-27； (4)/-32a02y; (5)&/64a8n吧8； (6)amb"can; (7)√/121×.169； (8)V16×121×144; (9)ー343×512× 729； (10)/81×16×625, 3.计算下列各题： (1)V17严-8； (2)√26-10； (3)√/1.7产-0.26； (4)√(a2+2-(a2-; (5)√15-12； (6)V21×6×7×8; (7)√45×10×98； (8)√96×56×189； (9)/124gy·(-18xy; (10)√/2amb".3am.66m。 §65分式的算术根 和乘积的算术根一样，我们可以用同样的方法来证明分式的算术根的公式. a)"二(/a) (96)n=,都是号的m次算术根。 但是号的次算术根只有一个，所以得到下面的公式： na ya√=元· 应该注意，这个公式只能适用于算术根。 ●223· ==========第231页========== 这就是说，分式的算术根，等于分子的同次算术根除以分母的同次算术根例1.计算： 4 (1) 3 25i (2) 27· 【解](1) 2 25/25 (2)-47一3/125 /125 5 7. 27 &27 3 =-12 · 例2.计算： 3 (1)8a66 #+1/a绳+1b5m+327c'd; (2) C2(n+1)。 【懈](13/ )8a7 3/2a68 2ab2 27ca=-/3oa▣.3c8d4￥ (2)n+1/an+1亿5n+5 n+乜y/a+6+巧abs C2(n+1)=n叶女0a可 c3。 例3. /3a2-12a+12 计算：√12a2-12a+8(a>2). [僻1 3a2-12a+12 3(a-2)2 12a-12a+8=√3(2a-17 √(a-2 a-2: √(2a-)2a-1· 注意要根据已知条件a>2做. 习题 6.5 计算下列各题(1~3)： 1.(1)/144 W289￥ (2)223 ·2240 ==========第232页========== (3) 27 (④) 2.(1) as 7196 (3) 4ae64 927y5 99 (④)125a6s (5)シ V-8x0 nfanb8元 27a6￥； ()√r 7)49a2 (a+b) -a-b )V(c+y)6· 3.(1) a2+6ab+963 x3-32+3x-T a4+10a6+256;(2)V23+6x2+12x+8· 4.计算 a2-2ab+b2 Na2+2a0+b2的值： (1)a>b; (2)a=b; (3)a44， .3√5>2i 习题 6.6 1.下列计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)2aV石=√/2a6; ②8√/号-Va; (3)/16=2√宫. 2。把根号里面可以移到根号外面的因式移到根号外面：1)√2m; (2)√27a; (3)3v√4a5c; (4)2√27abc3; ⑤3a V16ny; (6)Vaanon+1; (7)√8(+y); (8)√8y; [解法举例：やェ6ーなyーやェ3(3ー)ーエマ3-。 (9)√2a8+20a2+50a; (10)V(a2-6(a4-b(a>b). [提示：第(9)，(10)题先分解因式.]3,把根号外面的因式移到根号里面： (1)4V3; (2)3/③； (3)是g; 田√g; (6)2a2b/3abc; のa등+품 (8)x+22y2+8ry+8 2x+y 2y +x [提示：第(8)题先把2y2+8xy+8m2分解因式.1 ·227· ==========第235页========== 4.不求方根的值，比较下列根式的大小：(①)6√3和4√7； (2)和2√2； (3)-3V√2和-2/3. [提示：第(2)，(3)题要化成同次根式然后比较.] §6·7化去根号里的分母 根据分式的算术根的性质，可以得到： 8=3-=3, √4“/=2 8/b2e_/6c/元 a3*Va 一般地说， 九bby石 a. 这就是说，如果被开方数是一个分母开方开得尽的分式，那末这个分式的分母可以用它的算术根来代替而移到根号外面，这样就化去了根号里的分母 因为分式的分子和分母同乘以一个不等于零的代数式，它的值不变，所以如果被开方数是一个分母开方开不尽的分式，我们可以把分子和分母同乘以一个适当的代数式，使分母开方开得尽.这样，仍祖可以用它的算术根来代替而移到根号外面、 例1.化去下列各式中根号里的分母： [解] ●2286 ==========第236页========== e)-ーーT-ー3ー/3 可. 例2.化去根式√里的分母。 [解】 3×2 √8 厂6=61√6. 8×2=√16=44 注这个题目也可以这样来做 3 3×8W/241 V8=V8×8√⑧=V座-v4x68 중×2V=V6. 这样做法，第一步虽然化去了根号里的分母，但是得到的根式√4，还可以移因子到根号外面，再进行约分，所以增加了一些麻烦。 从这个例子可以看出，所谓适当的代数式，首先要把分母化成质因数或质因式的幂的积，然后找出一个代数式，用它同乘分子和分母，使分母能以最低次的形式开得尽。例3.化去下列各式中根号里的分母： 3 (1) 223 5 9mi (2) 18 (3) a-8 a+b. [解1(1) n /n2.3mBmm 93=V9m2.3m 27m 1 3m3/3mm, ●229· ==========第237页========== 8/58586×22×3 (2②)18-V2x8-V 6@ 29×3823×3 (3)a-b-/@=a+五=√- N Va+b (a+b)3 、:6a+8 a+6V@.1 注意把根号里的分母移到根号外面时，必须仍旧写在分母的位置上.例如()中，不能错误地写成3m√3mm. 习题67 1.下列的计算对不对？如果不对，应该怎样改正？ --yVx: (√+-（중+）a+ 化去根号里的分母(2~4)： .四 (2) 国 回昌； 8.V V0 (3)V (5)3八2y2 (6)8/3 V25x; ai ·230· ==========第238页========== (7)4 (8) a+8 N27026 a二b (a>b); (9)3/8-岁 Vy (10)3/(m+n)y 4(m-n) 4.(1)(a-b√a多 a十b (a>b); (2)(m2-m2)3/m+m (m-n)i (3)高： (4)/a26 V(a+b)n-· [法()즉-공-n2a-1.1y2aaaa 공a] §68最简根式 我们看下面的例子： 36=36=3/6; 64=√33.2=3W√6； 9/层-8√昏-0x号B-86.以上三个根式，有的是约简被开方数的指数和根指数，有的把根号里开方能开得尽的因式移到根号外面，.有的能化去根号里的分母同样可以看到， avab"-ay(ab)-avab; /a3i=√/a2.ab=a@b; aba Va8=a√ab. ◆231· ==========第239页========== 根式3，√和9√层的形式虽然不同，但是它们都 可以变形成根式3√6；同样，三个不同形式的根式6， V公5和。”√，也都可以变形成根式4V瓜 观察一下根式3√6和a√a石，可以看出，它们都有这样的特点：被开方数的指数和根指数没有公约数，被开方数的每 一个因式的指数都小于根指数，并且被开方数不含有分母。如果一个根式适合下面三个条件： (1)被开方数的指数和根指数没有公约数；(②)被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； (3)被开方数不含有分母； 这样的根式就叫做最简根式.例如，根式3√6，a√@d, 网等都是最简根式，而根式3题V,9√层，2 a积，a,心'√侣等都不是技简根式 一个根式，如果不是最简根式，可以经过约简被开方数的指数和根指数，把根号里能开得尽的因式移到根号外面，化去根号里的分母以后，把它化成最简根式、 应该特别注意，在进行根式运算时，如果没有特别说明，最后结果中的根式，都要化成最简根式例1，把下列根式化成最简根式： (1)/8a, (2)x 6/ (3) c28. 9a4. [解](1)&/8a36=/(2ab3=√2ab3=b√2ad;说明化简到√26，只做了符合最简根式的条件(1)，必须再移 ●232· ==========第240页========== ·C8z· 0-2入是- -a--은(0tg”二2 ·+g9ugD 、8tu08(8)(の<0) 2卜xg(②) 、 (9>) _ND (I) 任部怄生鳃形‘8@ a-N--是N :飞个=配的=8分飞个？=3个=8入，【越门 .8N8分48个年鲫形？卧 '盘面各御辛建亚还：(？)唑（①）￥号斑上绵 AAs（）影母工人话化的终 higt/8 08 ·icD6/合流s0L3 -D6龙zrgN.x= D8Mhia0 e08 *06 g0/8 西/8 phoo show (8)- /9 盘 合含가鍵트(2)号砂L，的 公名-盖☆娇-是公-光合常是加团 “里k各御陋三屈 ==========第241页========== (2)3 a'c-a3a2(g-a】 28 =3a√ 必6 必8 -8w号v公a-a-a3a 注意最简公分母是x,而不是x30 3/ (3) cn+33.c".c3c3/0ma3r6a*7=√an63m,6=:bVb2 =c9/07.8 abV63a*6+/6cm 习题6·8 1..下列根式中哪些是最简根式？哪些不是？为什么？m,:号√；，V悟，把下列根式化成最简根式(2~3)： 2.(1)√45； (2)√12； (3)√/16a; (4)√9a6; (5⑤/108a6; @婴： (7325 (8)x23/y N9a6 yV3・ 3.(1)V√16a3+32a2; (2)√4xy+12ac4; (3 8(m+n) )(m-n)vim-n)si 倒+ (⑤2a./b8b536Va4-QG j (6)an+ibancn の6a-28+-a(ab). [解J a4 a a4-2624一N a2(a2-62) 64 -是√丽， ac2+bc2 c2(a+6)(a-6)a-b =√ (a-b)3 C a-方√(a+b)(a- a-6va-b5 d 和/ac2+bc a-b是同类根式。 习题69 下列各组根式是不是同类根式(1~2)： 1.(1)3V54和5√/24； •236·- ==========第244页========== (8)V2和V.5; ④图和， ()/车，√18和√2； 4⑦，2和√ [提示：第（③，④题中，0.5和1.125先化成分数；2号先化成假 分数.] 2.(1)&/弼，a64和a8; @和紧 (eVa,2时和3√品 nbin+ (4)/am+巧*2和an-1… §610根式的加减法 在代数第一册里，我们知道，几个单项式相加减，只要把它们写成代数和的形式，再合并同类项.计算根式的加减，和计算单项式的加诚一样，只要把它们先写成代数和的形式，再合并同类根式（把各根式的系数相加，根式的其余部分不变例如， 计第：2√-受√+ー√+3 这里，2W区，青2和-√巨是同类根式，一是√ 和√也是同类根式. 从.2W2-V+是Vz-瓦+s 2V+号-ー√2+8-受 ·237· ==========第245页========== -(2+号-1V厘+(1-)v3营V+Vs. 说明根式的系数如果是假分数，通常不化成带分数形式.例如 专V区不写或哈区. 又如，计算： √2+⑧ 首先把√⑧化成最简根式2√2.那末可以得到 √2+√⑧=√2+2√2=3W2, 这里我们可以看出，为了合并同类根式，应当先把各个根式化成最简根式. 因此，根式加减法的法则是： 根式相加减，先把各个根式化成最简根式，再把同类根式分别合并、 例1，计算：9/③+7√2-5√48，[解]9w3+7/12-5N48 -9√3+14√3-20W/3 =3√/3. 2#。√+r√-2[解】是a+6eV日-2V月 =c/+2c√E-2c/e =心√x. 例3.计算(0.2西-2g+5V8)-(√W骨-②列） ·238· ==========第246页========== 【解10-29+i√⑧)-（√侵-V27) -经-2灯+is-√/骨+v 受ダ-2√+10V/-+8S -登+是，2 例4.计算： 공-(G-+-38- (a1).[证]（√+√m-1)(√w-√e-1) =(√x)”-(√e-1) =x-(w-1)=1, 例7.计算： (俪+2√-√陪+V需)v感 (2)(2W-3W/2+√6)(W6-5W3), 【制山(+2会-√凭+√儒)v -v丽vd+2√v-√层va属+品@ =√/a2b+2/-√a+1 =ab+2b-a+1; ·243· ==========第251页========== (2)(2W3-3W2+√6)（√6-5W/3) =2√/g.√/6-3√2.√/6+6√6 -2√/35√3+3√2,5-√.5√3 =2/18-3W/12+6-30+15√6-6√18 =-24+15√6-318-3W12 =-24+16√/6-9√/2-6√3，例8.计算： (√5-.W+√2)（√5+√3-√2）， 分析本题应用乘法公式计算，比较简便. [解]（√⑤-√3+√2）（√6+√-√2） -[√5-（√-√2）][√ +(W-W2] =(N5)-(√3-√2) =5-(3-2√6+2)=2W6. 习题611(2) 计算下列各题(1~5)： 1.(1)(√10-2W15)V√5； ②（侵Va+是-gv@)(-1v). 2.(1)(V2-④+8)V②； (2)2√3-3/z)√， 3.(1)(√5+V3)(V5-V3)； (2)(4-3V5)(4+3V5); (3)7W3+2√6)(2W6-7√3)； (4)(V√3m+2+√5c)(V3x+2-√50). 4.()(3V5-2V3); ●244● 1なをマ： ==========第252页========== @(g-√. 5.(1)(1+Vz-V③)1-√V②+√3)； (2)(√2-√3+√6)（√+V-√6）.. 6,求证下列恒等式： (1)(a+6)(やコマb+)=a+b; [解法举例：应用乘法公式(A+B)(A?一AB+B)=A8+,如果 把√a看做公式里的A,石看做B,那末VF=A,=B,所以 (a+√)（マゴーマab+）=(a)8+(石)8=a+b.] (2)(mーマ)(mマ+mn+や)=mーn. 7.下列各恒等式里，写出F应该是怎样的代数式？ (1)(a+Vb)F=a2-b; [解法举例： .(a+V万)(a-V石)=a2-b, .F=4-VW6.] (2)(√a-√石)F=a-;(③)(a-万)F=4-b; (4)(m3-mn+マア)・=m+n 注意第6,7题中所列的恒等式，是从乘法公式推导出来在以后的根式运算中，应用较广，必须熟练掌握 §612根式的乘方 「我们知道，乘方就是求相同因数的积的运算，所以计算根式的乘方，同样可以根据方幂的意义和根式乘法的法则进行。例如，计算(2)8，可以得到， (2)8=2./2./2 =/222=8。 ·一般地说，计算(Va)”,得到， ●245● ==========第253页========== (心a)m="a.及aa m个 =/aa…g m个 =/am. 所以得到下面的公式： (a)i-an 应该注意，这个公式只适用于a有意义的时使从这个公式，可以得到根式乘方的法则：根式乘方，把被开方数乘方，根指数不变 如果根式的乘方指数和根指数有公约数，'则应该先行约简，再行计算. 例1.计算： (1)(/5), (2)(/3a26)3, (3)(-)6: ④(a. [解】(1)(/5)6=/=5=25 (2)(/3a6)2=(3ab)严=3/9a*6=a/9ab, (3)(-agy)8-()e=√(c)3=a2y√c; (a-(a- 1/2(1+a. 1+ 例2.计算： (-号， (2)(a)+1 ·248• ==========第254页========== ]()(-√)-V() V-Va -0√a6. 说明如果根式前有系数，把系数乘方，仍旧作系数、 (2)(a)"+1=a"+=ana=a/a。例3.计算： (1)√10+√2.√10-√2； (2)(W1-√G-√1+)(0<<1). [解](1)√10+√2.√10-2 =W(10+√2)(10-√2) =W102-(√2)2=√100-2 =√/8=7√2； (2)(√1-√-W1+√c) =1-√-2W(1-√e)(1+/x)+1+√花=2-21-8. 说明根据已知条件，04) §613根式的除法 我们把分式的算术根的公式 n aa 反过来，就得到 Va na (b≠0). 从这个结果，可以得出同次根式相除的法则：同次根式相除，把被开方数相除，根指数不变， 和根式的乘法一样，如果根号前面有系数，那末把各个系数相除，仍旧作为根号前的系数；并且应该注意，最后结果必须化成最简根式.例1.计算： (1)/6a÷/正 ②÷6g4/ 工解](6硬÷西-5 =/5a •248● ==========第256页========== )+-·공V-공 =1石-1，abav aaa 品 如果是异次根式相除，和根式的乘法一样，必须先把它们化成同次根式后，再按照同次根式相除的法则进行计算。例2.计算： (1)√a÷8G; (2)/a./÷, [解](1)√a÷=/÷@=/a (2)8/c./m5÷=/图./0÷/ m=√原. 习·题613 1.计算下列各题： ①)V15÷3; 网V嘻v写 (3)マ12a÷4a; ④丽÷悟 间是÷0252 间4a晒*g 2.下列各题计算是否正确？如果不对，错误在哪里？ -度=8； 四登营 (2②)V√6÷3=√2。 计算下列各题(3~4)： 3.(1)4÷2; (2)2V÷3√E; (3)25a2x÷5aV√g; (④)3ab÷2Vab; ·249· ==========第257页========== (5)6a2bx÷3ac; (6)a5a.8a2 V÷aW (7)マ20。√2ab÷5a; ⑨g得2层 4.(1)(10W48-6√27+4V√12)÷√/3； (2)(Vy+Vx-3acy)÷√xy; (3)(4V8-6/2)÷√； (4)(y-マyア)÷(Vax-Vay).[提示：先提取公因式，] §6：14把分母有理化 在根式的乘法里，我们学过，当两个根式相乘，有时候它们的积可以不含有根式.例如， 5/8.5/4=/32=2(a+√i)(a-√b)=a2-b;(Na+√b)(√a-√b)=a-b;(/a+b)(/@-ad+)=a+b 等等。这个事实，提供了我们这样一个方法：如果需要的话，对某些含有根式的代数式可乘以另一个含根式的代数式，使它们的积变成不含有根式的代数式. 这个方法究竞有什么用处？我们来看下面的问题。 计算立的近似值，精确到0.01. 如果先求出√互≈1.4142，再计算工4绍， ,得到 1 マ10。 07 '。250● ==========第258页========== 这里，除数是1.4142，显然做除法比较麻烦.如果先把分母中的根号化去再来计算，得到 0.0n.2 这里，虽然也是除法，但除数是2，计算就比较简便. 又如，计算8-豆1 的近似值，精确到0.001， 如果先求出/3≈1.7321，√2≈1.4142，直接计算，得到 1 1 /3-√21.7321-1.4142=0.3179 ≈3.1456≈3.146 如果先把分母中的根号化去再来计算，得到 /3+/2 /3-/2(V3-√2)(/3+√2) =√3+/②=√+√位 3-2 ≈1.7321+1.4142≈3.146 这样，计算中省去了比较麻烦的除法，结果就比较简便 把分母中的根号化去，叫做把分母有理化 把分母有理化的方法是：把分子和分母都乘以同一个适 当的代数式，使分母不含有根导。象上面把交成Y, 了3二√霓变成√3+√2都是把分母有理化. 两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式。那末这两个代数式相互叫做有理化因式. 上面所说的，√2和√2，√3+√2和√3-√2， ·251.· ==========第259页========== 8和4，a+√石和a-√石，√a+√石和√a一√石，a+和证-/a畅+√/等都相互叫做有理化因式。 应该特别注意，把分母有理化的时候，要把分子和分母同时乘以一个适当的代数式. 、例1.把下列各式的分母有理化： (1) 14 5/7； (2)% 4 (3)g (4)a. [解1.(1) 14 14√7147-2, 6√76√77ー35 3 3 3√/2 3 (2)6ō"6V2-6√2./发=0√2； 说明先把√50化成最简根式5√②，因此有理化因式是√宫。一 444/33 6-3,5=39(3)· 说明先把/⑨化成3，由此可以判定它的有理化因式是 V3. (④)· aa=ag-8/a-a, a,a=- 从上面的例子可以看出，最简根式Yam(>m)的有理化因式是a-m 例2.把下列各式的分母有理化： (1) 3 √2 2-√3 (2) 、6+2√6 ●2524 ==========第260页========== (3)3√+4√2 3√5-4√2， 【解]()。3 3(2+√3) 2-√3-(2-√/3)(2+73) -8(2+√3)=3(2+√3： 1 (2） √/2 √2(2W5-√6) /6+2√/=(2√+V6)(2√6-√6) =2w1⑩-2W3 20-6 =2(W10-√3) 14 -号(i0-③： ()3√/5+4/2 (3√+4√2) 3√6-4√/2(3√6-4√2)(36+4√2) =45+2410+32 5-32 "g(77+24V1⑩).1 从这个例子中的(1)可以看出，a+√石和a一√石互为有理化因式；从这可以推导出，a+n√石和a一n√石互为有理化因式.·从(2)和(3)中可以看出，√a+√石和√a一√石互为有理化因式，m√a+n√/石和m√a-n√石互为有理化因式. 例3。把下式的分母有理化： 2 1-√2+√3・ ●288● ==========第261页========== 2 [解】1-√/2+√3 2(1-√2-√3) [(1-√2)+√3][(1-/2)-/32(1-√2-√3)=21-√2-√3)(1-√2)2-3 -2√2 1-2-√③=(W3+√-1)√2 √2 W2./2 (W+2-√②). 说明本题把分母有理化要分两步进行.也可以把1-√2+√3看做[(1+√3)-√2]，用它的有理化因式[(1+√3)+√2]去同 乘分子和分母，或者看做[1-(V√2-√3)]，用它的有理化因式[1+ (√？-√3】去同乘分子和分母，但是运算上都比较繁一些.读者可以自行练习，以作比较 例4.把下式的分母有理化： 6 マ7-34・ 6 E解】V7-4 6(/7+/7×4+8/4)7ーマ4)(7+87×4+42) -6(/49+28+/16) 7-4 =2(3/49+3/28+3/16) =2(8/49+8/28+28/2). 从这个例子可以看出，a-石和/a+/@+/ ◆254· ==========第262页========== ·9艺6 ーI+/3+I+s E入+I+个一多个-I+$个8 I+ε스I+&스+&^+ε ? 8 …b (8~)프号⊥거 •五☆+9金 9 (②) I+る(D9 I 个-3个+T 8个+3个-T() ム^-스+&()9 (T<)I-^-I+2 I+个 ·(s) (9y）. 这里必须注意，当x0,b>0,a-b>0,那末a士√石的算术平方根是： ()√a+-√+Ya-面+/a-√a2-b 2 2 (②)Va-√=√a+W@6 aー√a2-6 2 2 【证1 .·(√a+√/)=a+√b,a+Va2-b aー√a2-b 2 2 -8+N=6+2√+ab.-b 2 2 2 ta-va-8 2 =a+√/δ。 020e ==========第268页========== 而√a+√和Wa+va-b-√2-b都是正数：所 2 十N 2 以√a+√厉和√a+ab fa-ab 都是叶√b 2 2 的算术平方根 但是a十√石的算术平方根只有一个， .√a+W万-/8+@-b+a-√a2-b 2 同样，我们可以证明： √aー√6-√+va2-b a-Va-b 2 只须把已知的a,b的值代入上面的公式，就可以求得a土√⑦的算术平方根、 习题616 计算下列各题： 1.3+2W. 2.√7-2Wi0 3.√9+4V5, 4.√22-8√6. 5.W4+V12. 6.√6-V20. 7.W3+W. 8.√4-W 本章提要 1.根式a成立的条件 (1)当n是奇数时，a可以是任何实数； (2)当n是偶数时，4>0。 2.关手根式a的恒等式 ()(a)"=a(n是大于1的整数)： 0261· ==========第269页========== (2)./a=a(n是大于1的整数，a≥0)。 3.对于算术根说，根式有下面的性质 (1)9amp=/am(a≥0)； (2)/ab=/a./石(a≥0，b≥0)； 源 (a≥0，b>0); (4)(/a)m=/am(a≥0)；(⑤)/Wa=m/a(a≥0). 4.最简根式的条件 (1)被开方数的指数和根指数没有公约数；(②)被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； (3)被开方数不含有分母. .同次根式和同类根式的定义 同次根式：根指数相同的两个或几个根式； 同类根式：根指数和被开方数都相同（或者能够化成相同）的两个成几个根式. 6.根式的运算 (①)根式的加减法：把各个根式化成最简根式，再合并同类根式；(②)根式的乘除法：把各个根式化成同次根式，再应用下列公式进行运算： Va.V6-Vab, 治-(b+0); (3)根式的乘方：应用下列公式进行运算： (a)m=Vam; (④).根式的开方：应用下列公式进行运算： a-m a. ?.4士2√石的算术平方根应用下列公式进行运算： √a±2V=√±√y(x>y). 这里-x十y=4,y=b,而x和y可以从观察求得。 、◆262◆ ==========第270页========== 8.把分母有理化把分母有理化的法则是把分子和分母都乘以分母的有理化因式. /am和/an-m互为有理化因式(n>m):a+√石和a.-√石互为有理化因式；a+nV√石和a一n√b互为有理化因式；√a+√石和√a-√石互为有理化因式；m√a+nW石和m√a-nW石互为有理化因式；a+/石和别a-a品+互为有理化因式；a-6和や+b+互为有理化因式 复习题六 1.如果a是任何实数，等式a=a总能成立吗？等式√=4总能成立吗？在什么条件下，等式√an=a能够成立？2,(1)在什么条件下，a在实数范围内有意义？ .(2)在什么条件下，a-1不是实数？ 3.在实数范围内，下列各式中的x允许取哪些数值？ (1)√-4； (2)√-4； 1 (3)4- (4)√元√e-五. 4.(1)下面的计算错在什么地方？ -2√/5=√（-2.5=V②0=2W/5, (②)√9a+46=3a+2b对吗？为什么？ 5.甲、乙两同学计算√⑨-6+x(x>3),甲的演算是 √=6x+x=√(3-》=3-E, ·乙的演算是 √9ー6+=√-6x+9=√(-3)2=g-3 究竟哪一个对？为什么？ 6.计算下列各题： (1)V-10c+25; 0268· ==========第271页========== [解题举例：本题分三种情况来计算： (i)当x>5时，√x-10x+25=√(x-5)=龙-5；(ii)当x=5时，VW纪-10x+25=0; (iii)当x<5时，V2-10x+25=V(5-=5-x.] (2)Vπ4-2x2y+. 7.当x是什么数值时，下列各式的值最小？这个最小值是多少？ (1)V/9+; (2)V9-x; (3)√1+； (4)√1-， 8.不求方根的值，决定下列各式的结果是正的，还是负的？ ①)是V5-V, (2)6-2√2； (3)-12+√5； 1 4 (4)√3-√2-V [提示：先化成同次根式，或者把分母有理化，再比较它们的大小.] 9.a和b都是正数，求证： a+b>va+6 [提示：把不等式两边平方.] 10.在实数范围内，分解下列各式的因式：1)x2-5; (2)4a-1; (3)a4-6a2+9. 化简下列各式(11~19)： 11.)V8 (2)x2-c+1 N9(+1产· 12.(1)V2-W√5o+vV8; V+V-√圆 13.()/a8mbm+o+7; (2)nt/@8n+abn*+ncn可，' 14.(1)-b+V®-4a@+-b-B-4ae 2a 2a (+g画)（仁-g画）2a 2a· (b>4ac). 15.(エ-1+√2)（+2+√3）（σ-1-√2）(+2-√3) 。264● ==========第272页========== 16.v-√-√+√음+음+2。 17.√⑧-√12+V2 √8+W12- [提示：先提出公因式√？.] 18.(3-√2)(2+√3) (2-V3)(3+√2) [提示：分子和分母都乘以分母的有理化因式.] 1 19.Jを-1+マ2+1 [提示：先把分母有理化.] 20.求证下列恒等式： (1)a(仁b+V4ac、 2a +b(仁b+V®-4a0+c=0 2a (b2-4ac≥0)i (2)(-亚}+(-亚） 2a 2a +c=0 (b-4ac>0) ·286· ==========第273页========== 第七章 有理数指数幂 §7·1正整数指数幂 在代数第一册里，我们已经学过同底数的幂的乘法，同底数的幂的除法，幂的乘方，乘积的乘方和分式的乘方.在这些运算里，指数都是正整数、概括地说，正整数指数幂有下面一些性质： (1)am,a”=an+n; (2)am÷aam-n(a≠0，m>m)； (3)(am)n=amn; (4)(ab)"=a"b; (5)(°-g(6≠0). 应用这些性质，可以便于进行幂的运算。例1.计算： (1)a4.(a)2 20 (2)(-% (3) a公m1身 . 【解](1)g4.(a8)a4.a8a0 a° (2) 2a62)8--2gb2）3--8a68(-2g(3C327c13 (3) aam na”xm集 7yn· 0268· ==========第274页========== 例2.计算： (-八(0（月 (2)(a2b).(ab2)n+1÷(a3b3)"-1. [解]()八((》° 53a3b32874c425.35a5d2"c334a*d5b5c5 213.35.53a3b7cd 20.3.5a*6c 。24.3a4b2d B2c 48a*b'd 25c4; 说明为了计算方便，把88写成2”，60写成25.3°。 (2)(a2b)".(ab2)"+1÷(a3b3)-1 a2nbm.an+ib2n+2 a3m-8b3n-8 =a2m+n+1-(8m-3)。乃%+2m+9-(8%-8)=atbs 习题7.1 1.()-a等于(-a)吗？为什么？(②)(a)2和a3.a2的结果一样吗？为什么？(g二=对妈？为什么？ (4)（一a)”和一a”一定相等吗？什么情况下可以相等？什么情况、下不可以相等？ 0267· ==========第275页========== 计算下列各题(2~6)： .④(-音； (2) 8.(1)[-(-a)3]; (2)[-(-a)2]. 4.(1)（-3a2x)3.(-2bx2); (2)(0.1a2b2).(-2a3c)3.(-10b8c2)2. 5.(1)[(2a2)2]3; [(-》”T. 6.(1)()()(-bc2\4 5a (壁(2八(e (2) (3)(a263)n+1÷(ab2)n-1.(ab)2n+1. §7·2零指数幂 在上一节里，我们知道，如果m和%都是正整数，并且m>%,那末 am÷a"=am-n(a≠0). 但是，有时候我们也会碰到被除式里的幂的指数，恰好和除式里的幂的指数相同（就是说m=)的情况.例如，我们要计算a8÷a3的结果.这里，因为幂的性质a÷a"=am-"受到>n的限制，我们现在还不能应用这个性质来计算，为了要使这个性质对这样的问题也能适用，我们就有必要把指数的概念加以推广. 现在来看这个问题，如果直接按除法做，显然会得到 a3÷a3=1(a≠0). 如果幂的性质得到推广后，那末 3÷a3=a3-8=a°(a+0) ·268● ==========第276页========== 这两个计算结果应该是相等的.为了要使这两个结果取得一致，我们规定： a=1(a≠0). 这就是说：不等于零的数的零次幂等于1，零的零次幂没有意义. 例如， 20=1, (-3)°=1， (层》-1， (-0.125)°=1， (a-b)°-1.（当a≠b时）. 这祥规定以后，原来正整数指数幂的一切性质，对于零指数的幂也都适用.例如，如果a≠0，我们可以得到： .·a3.a0=a3.1=a3,a8+0=a3; .,.a3.a°=a3t0, 同样，.·a°.a°-11=1，+0=a°=-1， .∴.°.a0=a0+0 说明正整数指数幕的其他几个性质，对于零指数的幂也都适用，读者可以自行加以验证. §73负整数指数幂 ·如果要计算a2÷aw,同样因为幂的性质a÷a"=am-"受到m>%的限制，我们不能进行计算.可是，如果直接按除法做，可以得到 a2÷a5-a1 a时(a≠0)。 如果幂的性质得到推广后，那末 a2÷a=a2-5=a-3.(a中0)。 ◆288.· ==========第277页========== 为了使这两个计算结果取得一致，我们规定：在4≠0的时候， a8. 一般地，我们规定： a-n-1(a≠0，m是正整数)， 这就是说，不等于零的数的负整数一m次幕，等于这个数的正整数m次幂的倒数.零的负整数次幂没有意义. 例1.51,10-3，()，(-2,0.2)1，e*0) 各表示什么？ [解】5-a1=1 6=25； 10-81=1=0.01, 101000 1=64 1 64 (-2)-で-21 1 (0.25)-1=1 0.25=4 65. 例2。滤过性病毒是一种生物，最小的滤过性病毒的直径只有0.000001厘米，把这个直径用10的负整数指数的幂表示出来。 1 【解10.000001厘米=1000000厘米-10-8厘米. ·270· ==========第278页========== 这样规定以后，原来正整数指数幂的性质，对于负整数指数幂也都适用.例如，如果a≠0，我们可以得到： a3.a--·-공~a 8、a5=a5 a-2)+(-8)=a-5,,∴.a-2.a3=a-2)+-3) 例3.计算：(1).a-2÷a,(2)(a2)-;(3)(a)-[解](1)a-9÷a3=a-2》-(-8)=; (2)(a2)8=a2(-8)=a-6-1 (3)(a2)-3=a-2X-3)=a8. 说明如果化成分式来计算，上面三题都能得到同样的结果。 (1)a-2÷a-8=1÷1 a÷a8=a; 11 (2)(a2)8=a产=ai -()-すす 把指数的概念加以推广，引进了零指数和负整数指数后，正整数指数幂的五个性质可以归并成三个性质、 因为am÷a"可以看做am·a”,所以正整数指数幂的性质 (1)和（②）可以归并成一个性质： am.a”=m+n 同样，因为()'可以看做(b)”所以性质（④和⑤也可以归并成一个性质 (ab)"-a"b". 这样，我们就得到了整数指数幂的三个性质： am·a"=am+号 ·2719 ==========第279页========== (am)*-am (ab)"-a3, 例4.计算：5×(4.07÷3.64)°[解]6×(4.07÷3.54)°-5×1=5. 例5。计算：()x(-)”÷(-). [解】(层)×(-)÷(-° *4 125×4÷1=62 8 例6.计算：(2a3b-2)(-3a) 4a-40-3 [解】原式=-6a+-6-+1=-3a46-1 4a4b3 2a4b-3 44(-4b-1-(88 3 . 2 例7.计算：/3a3e-3\-9 byr)・ [解]原式-(8a)-4 (62y1)- 3-2a3×(-2)x-2)x(-2)02x(-2y-1x(-2) 。3-2a4b4n by9agy7、 。272● ==========第280页========== 习题73 1.求下列各式的结果： (1)a+b0(a+0,b+0); (2)(2×3-12÷2)n(n+0); (3)(aーy)(+y); (4)(a2-b2)°（이이）。 2.设a+0,n是正整数，下列各题中的两个幂相等吗？为什么？ (1)(a)"=aoxm; (2)(a")0=anx0; (3)(a)0=a0x0 求下列各式的结果(3~5)： 3.(1)（-√⑤)2-(-1)；()+(》°+(-)” (-1号}°-(-3.149 (4).(V3-√2)°-(V3)2-(-√2)2. 4.(1)10-4;· (2)(-1)-1; (③)(-3)； (4)-32; 向(》； (6)-0.2-2 5.(1)8×4-2; (2)(-3)8×27; ((옳)·（듬）'： ④[-(). 6.把下列各数化成一位整数乘以10的负整数次幂的积（即写成a×10m的形式，这里1≤4<10，n是负整数)： (1)0.00035; [解法举例：0.00035=3.5×0.0001=3.5×10-‘.] (2)0.005; (3)0.00001; (5 3 (4)0.0000306; 10000000· 7.化下列各式使它们不含负指数： 四20； 解法举例： ●2739.， ==========第281页========== (2) 1 (3) 3-aa22a-%-80 26y广 (4)a+2b13 (5) (x-y)-82a-b/ (x+ (⑥)(2a+21)-; (7)(a2+22)(a2-22). 求下列各式的结果(8~10)： 8.(1)(axy)(b-1x2y2); (2)3a4b8÷3-1a2b-8; (3)(2a8b-1xy2); ④[2)下. 9.(1)4a-268(a26-8-a-268+2ab) (2)(yーーy+エーy)÷y2. 10.(1)(a-1+b1); (2)(x2-y2)÷(G-1); [提示：x2-2=x2一（1)2，先分解因式，再行相除.] (3)a2+a-2 a2-a3- [提示：先分解因式，再行约简.] §7·4分数指数幂 在第六章里，我们知道，根据根式的基本性质，一个算术根，在被开方数的指数和根指数有公约数时，可以把这个公约数约去、 现在我们来看下面两个例子： (1)√a8=a4=a8+2 如果我们把8÷2写成分数形式，那末 √a=a是 (2)/a西=a5-=a15+8. 同样，把15÷3写成分数形式，那末 /as-u号， ◆274◆ ==========第282页========== 从上面的例子可以看到，如果根式的被开方数的指数能够被根指数%整除，那末这个根式可以改写成幂的形式，而 这个幂的指数就是咒，也就是 Va所=a器 这里m是%的整倍数. 再看下面的三个根式： ，√万，. 它们的被开方数的指数就不能够被根指数整除.为了也可以写成幂的形式起见，我们同样规定把这些根式也写成分数指数幂的形式。例如， マ-a3,√=3，-c 一般地，我们规定分数指数幂的意义是：当a≥0的时候， a”=yam 这里，m和n都是正整数. 这就是说，正数的正分数%次(m和外都是正整数)等于这个正数的m次幂的%次方根.零的正分数次幂是零. 说明在分数指数幂里，分数指数里的分子是根式被开方数的指数，分母是根式的根指数 例1.用分数指数幂表示下列各式（题目里的字母都表示正数)： (1); (2)/a5; (3)/(a+); (④)√+。 ·275· ==========第283页========== [解])E-是 (2)a5-(ab)黄 (3)/@+b-(a+b),(④)√+可-c+r)量.例2。把下列各式表示成根式，再求它们的值： (1)36; (2)1000: (③)8 (432 (6)0. 【解】(1)6-√6=6， (2)10003-/1000-10, 3)8-⑧-(8)=2=4 (4323-/32-(/32)3=8; (⑤)0-0. 如果分数指数是负数，我们规定，负分数指数幂的意义和负整数指数幂的意义一样，就是：当a>0的时候， a努。=1=1 这里，m和n都是正整数. 这就是说，正数的负分数一次幂(m和外都是正整数)等于这个正数的正分数咒女幂的倒数。 例如， 8黄。1=_1√8 3√33 ·276· ==========第284页========== 例3.用分数指数幂表示下列各式（题目里的字母都是正数)： (1) (2) 『解](1) (2)G 例4.把下列各式表示成根式，再求它们的值： (1)16; (2)27景 [解](1)16安-1=11 16安√164 (2)27号111 27泽2示*行. 注当a<0的时侯，a云并不都有意义.具体地说，当a<0的时候，如果%是既约分数，那末 (1)当a<0,%是奇数时，a号才有意义；它就表示am. (2)当a<0,n是偶数时，a”没有意义. 习题7·4(1) 1.用分数指数幕表示下列各式（题自里的字母都表示正数）： (1)Vx; (2)/x; (3)a6; (4)Vxy不； (5)や(+y); (6)Va3+b3, 1 の)va ⑧)3 '0277◆ ==========第285页========== (10)源 (11)√a+可 (12)Va+y （+9 2.把下列各式表示成根式： ①)5； (2)2； (3)星； (4)2m片 3.把下列各式表示成根式，并且求出它们的值： (1)49; (2273； (3)1253; (4)4黄： (5)32号；·(6)64; (7)100000;·(8)100000专 引进分数指数以后，可以把上一章里所说的根式的运算性质 (Va)m=am和/am=am+n 都用分数指效幂来表示，就是 双0n=(am=(am)量=a咒 这样，就把根式的这些运算性质统一为指数幂的运算性质了、我们以前所学过的正整数指数幂的运算性质，对于分数指数幂也同样适用.例如，对于性质u"ma”=am+”,我们可举例验证它在分数指数幂时也是适用的： (1)两个指数都是正分数： .=/a.a=只/@./@-只/a=a品=器+好 (②)一个指数是正分数，一个指数是负分数： e。是-四 =品-最+(-) (3)两个都是负分数： ●278• ==========第286页========== a号。11=11 "@9a“a/a 衣-。06+()1 又如(a")”=am,也可以举例来验证： 1 =a品=a（-)() 说明对于其他的几个性质，读者可以自行验证。 总的说来，引进零指数、负整数指数、正分数和负分数指数幂以后，正整数指数幂的几个运算性质可以归并成下面有理数指数幂的运算性质： am、a"=am+ (am)n-am; (ab)n=ambn 这里，m,n都是有理数，a>0,b>0; 利用有理数指数幂，我们可以简化许多根式的恒等变形问题. 例5.化简下列各式： (最.是.， (②0a专。克 8)a品)员 (④)(ab-0)量 (⑤)(-2g)3xy)(-4红g； (6)- 15a6。-是 256。景， 解](1)-d3+号+a, ●27●0 ==========第287页========== 说明为了使分数指数表示得明确起见，通常分数指数不写成带 分数形式。如本题中，a不写成a隆 (②是.a量.。品-68+(-》+（品）=°=18倒)(o()()-, (④(6-)多-。(-).6(-)=a6%, (5)(-2ay-)(3acy3)(-4ayず24-+y+学 =24xgy=24 器-6d (何-15g6。-号 5 5a60c-a 3 例6.计算： (①)(a+b2-6)(o+b使+e): (2)(a+b)÷(a是+6.[解](1)（の2+bc）(のき++。う -(@+b-(e =a+2a2b立+b-0-1, (②)(+b)-(@+() =(ai+b)(a-a+), ·280· ==========第288页========== .(@是+b码÷(a+b (a+)(a—ab+b)÷(+) =0-6量+6， 说明（①）、（②）两题都是应用乘法公式进行计算，显然简便得多。例7.利用分数指数幂计算： (1)a.3/as √/&.oTai (2)/cy2(a3; b3/ ,(4)(/6-√125)÷6， [解1(1) a.Jas √ama2.a0-a1+-- =a号.5； (2）°(=(yngy)青 (y)cyが。アーyy √-号√芒 =√@6-2ab-a6) -a6-a5号am (4)(5-√125)÷√5-(63-5シ)÷6 53-÷6ー5-5 =/6-6=/6-5, 0281● ==========第289页========== 从上面几个例子可以看出，根式的乘法、除法、乘方、开方，有时利用分数指数幂计算比较简便.因为这几个例子是以根式形式出现的，所以最后结果也化成根式（如果最后结果用分数指数幂的形式表示也不算错误).在以后的计算中，一般地，遇到原题是以幂的形式出现的，最后结果也用幂的形式表示；遇到原题是以根式形式出现的，最后结果也用根式形式表示，并且化成最简根式. 习题7·4(2) 1.下列计算是否正确？为什么？(1）a是.a3-; (2)a3.a号=0 (3）a÷a=a; (④)(a)2=a; (⑤)(-a3)=-; (6)2a号1、 23. 计算下列各题(2~6)： 8四()月 (2)144) 49/ ( (④)-2(0.064)号 3.(1)3 ~ (2a3a8÷; (3)(a); (④)(a星b号)专 4.(1)(2ab).(-6a6)÷(-3m8;e)(号a)(-a-な)·(ai。う (8)(4ab(-aeう) ()》 (⑤V25g1 ·2820 ==========第290页========== 5.3如（得e-2e3+1-》h (2)(3a是+2a-4a(2ai-3a月 (3)(x透-g; (④)(3a+2b)(3ai-2bi)；(⑤)(a3+b)(a是-ab号+b； (6)(a+1+ai(a-1-a.[提示：a-1-a=a-(1+a).] a-b atb (2)a-b6toi (3)a5-6年 a3+b·2 7.利用分数指数幂计算： (1)3V3.3./9; (2) (3)√a.a 2aa (④) VaVaVa》'; (6)√a元÷61V; (⑦{27aVa2月. 本章提要 1.正整数指数幂的性质（式中，”都是正整数） (1)am.a=amtr; (2)(am)”=amn} (3)(ab)"=a"b"; ●283● ==========第291页========== am-n (m>m), (4) 1 (m=n,a≠0)， 1 an-m (m1)； (7)V/am=am*n(a>0,n>1,m是n的整数倍)。 2.零指数特 a=1(a+0). 3.负整数指数幂（式中m是正整数） a品(a≠0). 4.分数指数幂（式中m是正整数，n是大于1的正整数） (1)a品=/am(a≥0)； (2)a骨=1=1 m (a>0). an 6.有理数指数幂的性质（式中，m,n都是有理数，a>0,b>0.) (1)am.a”=am+m; (2)(am)n=amn; (3)(ab)m=a"b, 复习题七 1.下面的推导，错在什么地方？ （-1).(-1)-[(-10(-1]i-1i=1, 又 …(-1).(-1)=[(-1)]2=-1, .1=-1, 2.指出下列各组是否一定相等？为什么？ (1)(a)2=(a2)i; (2)(a-(a). 计算下列各题(3~9)： 3. (の (-125() ·284● ==========第292页========== ②)[253+（侵》+34；@(}+(-2.ayr-69)+01)3. 4.(1(a。1); (2)（-cgr1)号； (3)(aV√6c)； (④Va(b-4y} (⑤)a1a. 5.((+x(4x号-2x+1； (2)(3a-2b)(3a3+2b; (3)(加-n)÷(m-n;(④)(a2-b)÷(a+a,i+b.[提示：2-b=(a)9-(b.】 6.(1)(a2マ)-3÷√b-4Va; e语漂 a5+bai6· 7.(1)(x-+1)(a++10(x-x+1); (2)(am+a9+1)(am+a号+1). 8.√如-2nw+y(a0. [解】(1)9x2-36=0. 9x2=36, 心2=4， 优=士√4=土2. 所以这个方程有两个根：=2；一一2。 (2)x2-√625=0. x2=√/625， x2=25, =士√25=士5， 所以这个方程有两个根：=5；2=-5。 ·290· ==========第298页========== ③0.2-言-0.2、1 2 2 =土√ 3 3 所以这个方程有两个根： =V √6 3 3 (4)4x2+25=0. 4c2=-25, 2=-25 4 所以这个方程没有实数根. (6(+a)ー(2+受)(a>0). m+2ac+a2=42+2ar+g2 4 e2-4x2a2 4a2, -3a2=-2, 4 2-12, 4 :e>0小2-生V经6-土经a. 1 所以这个方程有两个根：=专4，=一 2。不完全一元二次方程ac2=0的解法把方程的两 ◆291● ==========第299页========== 边都除以a(因为a≠0)，就得到 2=0 很明显，只有当心=0的时候，这个等式才能成立.通常我们说方程ax2=0有两个相同的根：它1=心2=0. 注意解这种类型的方程时，不要说方程只有一个根，x=0。例5.解方程：(x-2a)2=4a2-4a心.[解] (-2a)2=4a2-4ac, x2-4ac+4a2=4a2-4ax, 心2=0. 所以这个方程有两个相同的根：1=2=0. 3。不完全一元二次方程ax+bc=0(b≠0)的解法我们来看下面的方程：3x2-ix=0. 这个方程的左边可以分解因式，得到 x(3c-5)=0 这样，方程的左边是两个因式x和3c-5的积，而右边是零.我们知道，两个因数的积等于零，那末这两个因数中至少要有一个因数等于零.同样，如果两个因式的积等于零，那末这两个因式中至少要有一个因式等于零；反过来，如果两个因式中有一个因式等于零，它们的积也就等于零.这就是说，要 使两个整式A和B的积等于零，必须A=0或者B=0.因此， 要使 x(3c-5)=0, 必须 G=0, 或者 3心-5=0. 分别解两个一元一次方程心=0和3-5=0，得到它们的 根，-0和-・ ·2920 ==========第300页========== 因此，方程3a2-5m=0有两个根：1=0,2=13. 一般地说，我们可得到不完全一元二次方程aa2+b心=0(b≠0)的解法是： ax2+bx-0, c(ac+b)=0. 使化=0，得到一个根1=0 使ax+6-0,得到另一个根购= a 例6.解下列各方程： (1)x2=; (2)42+24c=0; (3)√22-/2x=0 (4)(1-√/2)x2=(1+√2)x.[解](1)x2=. c2-心=0， 心(c-1)=0. 使 花=0， 。1=05 使 G-1=0, .2=1. 所以这个方程有两个根：1=0，心2一1. 注意解这个方程的时侯，不能把方程两边的公因式：约去，否则就会使方程失去一个根x=0, (2)4x2+24w=0. 4c(+6)=0. 使 4=0, .∴。=0； 使 花+6=0， ∴.xg=-6。 所以这个方程有两个根：c1=0,心g=一6， (3)√2x2-2c=0. ·293● ==========第301页========== x(√2心-82)=0. 使 c=0, .‘.1=0 使 √2心-/2=0， 。 ,=2愿 V2 2 2 所以这个方程有两个根：=0，-画 2。 (4)(1-√2)2=(1+√2)x. (1-√2)x2-(1+/2)c=0,x[(1-W/2)x-(1+√2)]=0. 使 x=0,‘.c1=0 使 (1-√2)x-(1+√2)=0， =1+V2(1+√2)=3+2W② 1ー√2(1-√2)(1+√2)-1=-3-2√2， 所以这个方程有两个根：G1=0,2=一3-2√2， 习题82 1.下面方程的解法对吗？为什么？如果不对，应该怎样解？ (1)解方程：3x2=4,解 3x=士2， 小=士景 (2)解方程：x2=2x, 解方程两边都除以x,得方程的根是： x=2 2.解下列各方程： (1)81x2-25=0; (2)x2-0.64=0; (3)4.3-6x2-2.8; (4)x2-√81=0； ·294● ==========第302页========== (⑤)(x-5)(c+3)+(x-2)(x+4)=26; (0）1824-20832-3号；12 18 (7)3x2-4=0（精确到0.01)； (⑨号+0.7=1（精确到0.01. 3.解下列关于x的方程： (1)4a2x2-9b2=0; (2)2mx2=3n; (3)x2-9a2-12b-4b2=0; (4)(2x-a)2=a(3a-4x). 4.解下列各方程： (1)2x(3x+7)=0; (2)3y=8y; (3)）7x-5c=2x2+g; （④2x-3a=量(e-6ag (5)(3x+1)(1-3x)=5(x-2)+11; (6)(x-3)2+(x+3)2=3(x2+6); (7)√3x2-V3x=0;(8)(2+V3)x=(2-√3)0)8x-3+9x5=2 5 4 ；(10)(x+1)8-(x-1)3=2, 5.解下列关于如的方程： (1)（a+b-c)=2ar2; (2)(-a)(x+b)+(x+a)(x-b)=2a(ax-b); (3)(a+b)2+(a-bx)2=a2+b2(a2+b2+0). §8·3完全一元二次方程的解法（一） 一因式分解法 在上一节里研究不完全一元二次方程ac+bx=0的时候，我们知道，如果方程的一边能够分解成两个因式而另一边等于零，那就能使每一个因式等于零，得到两个一元一次方程，解这两个方程，就得到原方程的两个根.现在来研究完全 一元二次方程 ◆295· ==========第303页========== x2-7x+12=0 的解法。这个方程的左边可以分解成两个一次因式，就是 2-7x+12=(x-3)(x-4). 因此，这个方程就变形成 (x-3)(-4)=0, 使心一3=0，得到一个根c1=3使心一4=0，得到另一个根cg=4.所以这个方程有两个根：=3,2=4.这种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法 从上面这个例子可以得出，用因式分解法解一元二次方程的步骤是： (1)把方程变形成为两个一次因式的积等于零的形式(i)使每个一次因式等于零，得到两个一元一次方程；()解所得的两个一元一次方程，就得到原方程的两个根（分别用和表示）. 说明这个方法只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边等于零的时候，才适用 例1.解方程：心2+3心-10=0 【解]把方程的左边分解因式，得 (w-2)(x+5)=0. 使 心一2=0， 。'。125 使 心+5=0， .‘.cg=-5 所以原方程的根是1=2，■一5.例2.解方程：一x2+18m一3c.[解】移项，得 -w2+3c+18=0, 方程两边都乘以一1，得 ·286· ==========第304页========== 2-3一18=0 把方程的左边分解因式，得 (x-6)(c+3)=0. 使 心-6=0， '。心1=6； 使 十3=0， .∴、心2=-3。 所以原方程的根是1=6，c=一8. 说明如果二次项系数是负数，为了便于分解因式起见，先把二次项系数变为正数，然后再解 例3.解关于心的方程： (1)x2+2ac-8a2=0 (2）c2-2ac-b2=-a2.[解](1)c2+2ax-8a2=0.分解因式，得 (t+4a)(-2a)=0 使 c+4a=0, .°。x1=一40； 使 w-2a=0, 。°。c2=20. 所以原方程的根是c1=一4a,c2=2a. (2)x2-2ac-b8=-a2. 移项，得 (c2-2aw+a2)-b=0, (c-a)2-b2=0. 分解因式，得 (x-a+b)(-a-b)=0. 使 c-a+b=0,.'.1=a-b; 使 ーaーb=0,.∴.cg=a+b。 所以原方程的根是G1=a一b,=a十b。 0297· ==========第305页========== 习题83 1.下面方程的解法对吗？如果不对，应该怎样解？解方程： ·(x-2)(x-3)=1, 解 x-2=1, 、1=3; x-3=1, ."2=4。 用因式分解法解下列各方程(2~5)： 2.(1)x2-6x+8=0; (2)x2+6G+8=0; (3)x2-2x-8=0; (4)x2+2x-8=0. 3.(1)x2-4x=21; (2)10+3x-x2=0; (3)x2-14=5x; (4)3x=40-x2. 4.(1)y(y+5)=24; (2)y(y-4)=4y; (3)(x-1)x+3)=12; (4)(x-3)(x+7)=-9, 5.(1)x(2x+7)=3(2x+7); (2)(3x-1)2=4(2x+3)2; (3)3(x-2)2-x(x-2)=0; (4)4(x+3)2=25(x-2)2; 222-362,2 (6)(x-1)(x+3)-2(x+3)2+3(x+3)(x-3)=0,[解法举例：(1)x(2+7)=3(2x+7), 2x(2x+7)-3(2x+7)=0, 提取公因式，(2x+7)(x-3)=0, 1=ー3。 (2)(3m-1)2=4(2x+3)2, (3x-1)2-4(2c+3)2=0, 利用平方差公式，[3x-1+2(2x+3)][3x-1-2(2x+3)]=0, (7x+5)(-x-7)=0, 下4=-身=-7]5 6.解下列关于x的方程： (1)x2+2ax+a2-b2=0;(2)x(x+a-1)=a5 (3)2-2x+1-k(2-1)=0 (k+1); ●298● ==========第306页========== （(4)2x2+bx=bx2+ax(a2+b2). [提示：第（②）题，先整理成二次方程的一般形式再分解因式：第(3)和(4)题，先提取公因式.] §8·4完全一元二次方程的解法（二） 配方法 我们先来看下面的方程： (x-2)2=3. (1) 这个方程就是说心一2的平方等于3，因此，根据方根的意义，心-2就是3的平方根，所以 x-2=士√3， (2) 解-2=√3，得到一个根心1=2+√3；解心-2=-√3，得到另一个根=2-√3 这就是说，如果一元二次方程的一边是一个平方的形式，另一边是一个常数，就可利用开平方的方法来解。 现在再来看下面的方程 x2-4w+1=0 这个方程的左边不是一个平方形式，也不容易分解因式.所以也不能直接利用因式分解法来解 为了解这种类型的方程，我们可以设法把它化成方程(1)的形式 先把常数项移到方程的右边，得 2-4c=-1. 为了使等号左边变成一个一次二项式的平方，我们在方程的两边都加上4，得 c2-4c十4*-1十4， ,0299· ==========第307页========== 就是 (x-2)2=3。 解这个方程，得 x-2=士√3. .1=2+√3，=2-√3，我们再来看一个例子： 8a2+2x-6=0. 这个方程的二次项系数不是1而是3，为了容易把方程的左边变成一个平方的形式，所以先把方程的各项除以3，再把常数项移到方程的右边，得 +a-. 把方程的两边各加上（得）》，就是各加上一次项采数号 一半的平方，左边就变成一个平方的形式，右边是一个常数： +景+（侵》”-2+（得），(e+》-9. 解这个方程，得 8±V© 3 a-+·그，3 1-√1⑧-1-⑩ 38 3 这种解一元二次方程的方法，叫做配方法 从上面两个例子，可以得出，用配方法解一元二次方程的步骤是： 0300· ==========第308页========== (1)如果二次项的系数不是1，用二次项的系数除方程的各项； ()把二次项和一次项移在方程的左边，常数项移在方程的右边； ()方程的两边各加上次项系数一半的平方，使方程的左边变成一个平方的形式，右边是一个常数； (v)求出方程左右两边的平方根，右边要添上正负号，得到两个一元一次方程，解这两个方程，就得到原方程的两个根。 例解方程：6x-5x-3=0 I解1 —-공-0， 62 6 +()-号+（옳），6 (e-5197 12 *±⑨7 5 12， 品+Y僵-t航112 12￥ 5-0m-6-wm 21亚 12 习题84 1.配上适当的数，使下列各等式成为恒等式： (1)x2+5x+=(g+): “801· ==========第309页========== (2)x2-6x+=(x- ) 网2-号+=(8一 ) (4)心2++二(G十)2. 2.用配方法解下列各方程： (1)x+x-72=0; (2)x2-25x+156=0; (3)x2-6x-6=0; (4)6x2+x-2=0; (5)3x2-2=4x; (6)3x2+5x+1=0; (7)2x=3-7x; (8)5x2-2=-x. §85完全一元二次方程的解法（三） 一一公式法 现在我们来解一般形式的一元二次方程： aac2+bm+c=0(a≠0)。 这个方程可以用配方法来解用二次项系数a除方程的各项，得 r2+br+9-0. a 把常数项移到方程的右边，得 2+6 a 在方程的两边各加上一次项系数一半的平方（品）》：++()-을+()。a 就是 ·302● ==========第310页========== 因为4aw2>0,所以 (1)如果b2-4ac>0,那末b2-4ac>0,就得 4a2 b=±√62-4a0 2a 2a =一土Y-4a0 b 2a 2a =-6±√b”-4ac 2a ● 所以原方程有两个根： 1-b+Y2=4ac,m4=-b-YB-4a0 2a 2a ②如果-4ac=0,那末”-0，就得 a+品)°-0. 所以原方程有两个相等的根：=，一一 2a* (3)如果2-4ac<0,那末b2_4ac4a2 ∠0. 所以原方程没有实数根. 从上面所说的，可以得到：一元二次方程ac2+bc+c=0的求根公式： x=-b±b-4ac (b2-4ac≥0)， 2a 在解一元二次方程时，我们只要把方程中各项系数@，，c代入上面这个公式，就可以求得原方程的两个根，这种解方程的方法，叫做公式法 用公式法可以求得任何一元二次方程的两个根（只要方 •303· ==========第311页========== 程有实数根)，但是解某些一元二次方程，用因式分解法或者两边开平方的方法比较简便，这时，就不一定用公式法来解。 例1.解下列方程： (1)7x2-11c-6=0;(2)2x2+8c-7=0.[解](1)72-11c-6=0.这里a=7,万=-11，c=-6 b2-4a0=(-11)2-4×7×(-6)=289, x=11±W289=11±17 2×7 14 =11+17-2; a-1-17--용 14 14 7 所以原方程的根是如=2，=一二 (2)2x2+8x-7=0 这里a=2,b=8,c=-7, b2-4ac=82-4×2×(-7)=120. c=-8±√20。-8±2√0=-4±√0 4 4 2 所以原方程的根是应=二4+√0 2 2=一4-√30 2 例2.解方程 c2-(2-2√2)龙十3-2√/2=0. [解]这里a=1,b▣-(2-22)，c=3-2√2，b2-40=(-2+2W√2)2-4(3-2√/2)=0. =2-2交0=1-√/2. 2 ".1=心2=1-√/2， 所以原方程有两个相等的根：1==1-√互。 804● ==========第312页========== 注意在这个方程里，b2-4ac=0。这个方程有两个相等的根。例3.解关于的方程： x2-a(3w-2a+b)-b2=0, 【解]整理后，得 c2-3ac+(2a2-ab-b)=0, 这里，心2的系数是1，c的系数是-3a,常数项是2a2-ab 一b”,而 (-3a)2-4(2a2-ab-62)=a2+4ab+4b2=(a+2b)2≥0。 .cm3a±√(@+26 2 =3a±(a+2b) 2 所以原方程的根是 =3a+a+2b 2 =2a+b, -8a-g-2b4-6. 2 说明这个方程里的字母系数是“和b,因此，不能再写成 b2-4ac=(-3a)2-4(2a2-cb-P)的形式，以免混淆，可以直接写出 （-3a)2-4(2a2-ab-b)=a2+4ab+46=(a+2b)2. 习题85 1.用公式法解下列各方程： (1)3x2-5x-2=0; (2)2x2-29x+60=0; (3)2x2+2-1=0; (4)x2+2x-2=0; (5)x(x+8)=16; (6)x(x-4)=41; (7）0.09x2-0.21e+0.1=0; (8)0.8x2+c=0.3; (9)是+划=1 (109-3y=2 (11)3y+1=2V3y ●a08。 ==========第313页========== (12)V2x2+4W/3龙-2√Z=0:(13)x2-(1+2W3)+√(1-√3)=0；(14)2W3x-√2(x2+1)=0. [提示：(7)~(10)题可以先化成整数系数.] 2.用公式法解下列各方程，并且计算根的近似值（精确到0.01）： (1)2x2-83+5=0; (2)2-4x-√2=0； 3号-告-1. 3.解下列各方程： (1)(3x-4)2=(4x-3)2;(2)x3-(x-1)3=1; (3)(x+5)2+(2x-1)2-(x+5)(2x-1)=67; 4[-是()]- 4.解下列关于x的二次方程： (1)V2x2-3ax+a2=0;(2)(x-a)2=b(x2-a2} (3)(a2-b2)x2-4abx=a2-b2;(4)abx2-(a4+b4)x+a63=0.[提示：(2)，(3)，(4)题用因式分解法来解比较简便.] 5.(1)x是什么值的时候，y=x2-8心+12的值等于零？[解法举例：y≈x2一8x+12=0, (x-2)(x-6)=0, .1=2;x2=6. 所以当龙一2或x=6时，y的值是等.] (2)x是什么值的时候，y=x2-8x+12的值等于-4？ (3)x是什么值的时候，知2+3-9的值和5-2c的值相等？ §86一元二次方程的根的判别式 从上节，我们知道任何一个一元二次方程ax+b+c=0都能利用配方法变形成为 b262-4ac 2a/ 4a2 "806◆ ==========第314页========== 因此， (1)当2一4aC>0时，方程aa2+bx十c=0有两个不相等的实数根： ニ+-4，的—b=-√-462a 2a (2)当b2-4ac=0时，方程ac2+b十c=0有两个相等的实数根： 花1=g=一7ai (3)当b2-4ac<0时，方程a2+bx十c=0没有实数根① 由此可以看出，一元二次方程Qc2+bx+c=0有没有实数根，有两个不相等的实数根还是两个相等的实数根，要从b2-4ac的值来决定，也就是说，b2-4ac的值可以判定一元 二次方程ax2+bx十c=0的根的性质. 我们把2-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0的根的判别式，通常用符号“’来表示 归结起来说：当4>0时，，元二次方程a2++c=0有两个不相等的实数根； 当4=0时，，元二次方程ax2+bm+c=0有两个相等的实数根； 当A<0时，一元二次方程aa2+bc十c=0没有实数根 :反过来，一元二次方程aa2+bx十c=0有两个不相等的实数根的时候，4>0；有两个相等的实数根的时候，4=0；没有实数根的时候，4<0. 应该注意，如果只研究一元二次方程ac2+bc+c=0有没 ①将来数的概念从实数范围进一步扩大到复数范围以后，可以知道，当b9-4ac<0时，一元二次方程a+bx十c=0有两个不相等的虚数根。 ·307· ==========第315页========== 有实数根，而不研究这两个根是不相等的实数根还是相等的实数根，可以说，当≥0时，一元二次方程有两个实数根；4<0时，方程没有实数根.反过来，一元二次方程有两个实数根时，4≥0；一元二次方程没有实数根时，△<0 说明在计算判别式的值时，为了避免方程各项系数的错误，应该先把方程整理成一般形式，再代入判别式中计算。 例1.不解方程，判别下列各方程的根的情况： (1)2x2-7c-3=0: (2)16x2=24c-9, (3)8x(如-2）=-7；(42-72+1≈0 【解1](1).°=(-7)3-42.(-3)=49+24>0， 。°.这个方程有两个不相等的实数根 (②)先移项，整理成一般形式，得 16x-2A心+9=0 .°4=(-24)3-416.9=676-576=0，。'.这个方程有两个相等的实数根 (3)整理后，得 3x2-6x+7=0 .”4=(-6)2-437=36-84<0, .这个方程没有实数根 (4)这个方程就是 √g2-√/2龙+2=0， ,·=(-√/2)2-4√32=2-8√3<0，。这个方程没有实数根 例2.m是什么数时，方程92一(m+6)c十m-2=0的两个根相等？ [解1 4=[-(m+6)]2-49(m-2) ·808● ==========第316页========== =m2+12m+36-36m+72 =m2-24m+108. 如果要使方程9a2一(m+6)心十m一2=0的两个根相等，必须4=0。 .m2-24m+108=0, (m-6)(m-18)=0, m1=6,m2=18, 答：当%=6或者m=18时，方程9x2-(m+6)x+m一2=0 的两个根相等。 例3.飞是什么数时，方程k2-(2k+1)心十飞=0有两个不相等的实数根？ 【解] 4=[-(2k+1)]2-4k.k =42+4k十1-4k2 =46+1. 要使方程2一(2k+1)心十飞=0有两个不相等的实数根，必须4>0。 。4z+1>0, >、1 … 但是，根据一元二次方程的意义，二次项的系数不能是 零，所以，这显不能是零，也就是说，在>-是的范围里， 应该除掉k=O。 答：当&>-壬（但+0）时，方程2-(2肠+1)+=0 有两个不相等的实数根. 注意解这类问题时，必须注意所得的结果不能使二次项的系数等于零；如果有某些数使二次项的系数为零，应该除掉。 ·309· ==========第317页========== 例4.判别关于心的方程2x2-(4m+3)心+2m2+1=0的根的性质。 [解J 4=[-(4m+3)]2-4.2(2m2+1)=24m+1, (④当2m+1>0时，即0>-嘉时，方程有两个不 相等的实数根； (②当24m中1-0时，即m=一嘉时，方程有两个相 等的实数根；· 1 (3)当24n+1<0时，即m<-24时，方程没有实数 根. 例5.求证方程(k2+1)x2-2c+(飞+4)=0没有实数根 【证】要证明这个方程没有实数根，必须证明△<0，现在. 4=(-2)2-4(k2+1)(k2+4)=4k2-464-202-16 =-4(4+4k2+4) =-4(2+2)2. 因为飞是任何实数时，(2+2)2一定是正数，那末 -4(k2+2)2一定是负数. .4<0 所以方程(2+1)x2-2kc+(2+4)=0一定没有实数根。 习题86 1.不解方程，判别下列各方程的根的情况： ·310· ==========第318页========== (1)x2-11x+6=0; (2)2x2+7x+5=0; (3)4x2+12c+9=0; (4)3x2-2a+1=0; (5)5c(x+2)+6=0; (6)9ax2+4=12c; (7)5(2-2)-7x=0; (80.23-5=17对 ()号2-V万=v3 (10)4(2+0.9)=2.4z 2.飞是什么数时，下列各方程有两个相等的实数根？ (1)kx2+4x+1=0; (2)9x2-c+4=0; (3)4x2-(k-2)x+1=0; （4)(x-1)2=kc; (⑤)x2-(2k+1)x+k=0;(6)x2-9+k(x+3)=0; (7)(k-1)x2+2(k-7)x+2k+2=0; (8)(k-2)x2-2(k-2)x+5k+6=0, 3.飞是什么数时，下列各方程有两个不相等的实根？ (1)x2+(2k-.5)x+2=0;(2)2x2+2=(4k+1); (3)2kx2+(8k+1)=-8k 4.判别下列关于x的二次方程的根的情况： (1)22+2x+m=0; (2)(m-2)x2-4x+3=0; (3)3x2-2(3m+1)x+32-1=0; (4)(a+b)x2-2ox+(a-b)=0, §87列出方程解应用题 列出一元二次方程来解应用问题，跟前几章里学过的列出一元一次方程来解应用问题一样，主要关键在于正确地选择未知数，并且根据题目里数量之间的关系列出方程来。下面举几个例子来说明. 例1.§81里的问题：一块矩形钢板的面积是10平方米，它的长比宽多3米，求这块钢板的长和跳。 ·311· ==========第319页========== 【解]设钢板的宽是心米，那末钢板的长是(c+3)米，钢板的面积是x(c+3)平方米. 根据题意，钢板的面积是10平方米，得到方程： x(e+3)=10, 去括号、移项，得 2+3x-10=0 (G-2)(c+5)=0, '.1=2,=-5. 因为钢板的宽不能是负数，x=一5不合题意，所以龙=2。于是心十3=5 答：钢板的长是5米，宽是2米 说明如果设钢板的长是x米，那末宽是(c一3)米.根据题意，得方程x(c-3)=10,解这方程，得x=5(r=一2不合题意).所以花-3=2， 例2.两个连续奇数的积是195，求这两个数. 分析根据连续奇数的意义，可以知道，两个连续奇数的差是2，所以设其中一个数是x,那末另一个数就是x+2或x一2. 【解]设一个奇数是心，那末另一奇数是心十2。根据题意，列得方程： x(c+2)=195, 由此， c2+2x-195=0, (-13)(ax+15)=0, ”.c1=13,g=-15 因奇数可以是正数，也可以是负数，所以心=13和心=一15都适合题意. 当x=13时，x+2=15:当=-15时，他+2=-13. 答：这两个数是13和15或者-13和-15. ●312. ==========第320页========== 说明也可设一个奇数是，另个奇数是：一2.解得的结果是相同的。 例3.有一块长方形的铅皮，长40厘米，宽30厘米.现在把它的四角各剪去一个小方块，然后把四边折起 40 来做成一只没有盖的盒子，使这个盒子的底面积 B0- 0 是原来铅皮面积的一半，求这盒子的高（图81）.[解]设盒子的高是 40-2x 心厘米。因为小方块每边长厘米，所以盒子的长 图81 和宽分别是(40-2c)厘米和(30-2w)厘米。 根据题意，列得方程： (40-2)(80-2）=40×80×是. 1200-140+4x2=600, 42-140c+600=0, 2-35x+150=0, (c-30)(c-5)=0, ∴.1=30,2=5. 1=30和2=5虽然都是正数，但是只有c=5是适合应用题的条件的.因为果盒子的高是30厘米，那末铅皮的两边各要剪去60厘米，而原来铅皮的长和宽分别只有40厘米和30厘米，显然这是不合理的 答：盒子的高是5厘米 ·313· ==========第321页========== 例4.把100厘米长的铅丝折成一个长方形的模型.（①）要使这个长方形的面积是525平方厘米，它的长和宽应该各 是多少厘米？(2)面积是625平方厘米呢？(3)面积是700平方厘米呢？ [解】设这个长方形的宽是x厘米，那末它的长是 100 2 (”-）厘米，它的面积是 图82 x(50-)平方厘米（图8.2）. (1)当长方形的面积是525平方厘米时，根据题意，列得方程： c(60-心)=525， w2-50x+525=0, (c-15)(x-35)=0, ..1=15,c2=35, 50-15=35,50-35=15 (②)当长方形的面积是625平方厘米时，根据题意，列得方程： c(50-c)=625,· x2-50x+626=0, (c-25)3=0, ∴、1=g=25. 50-25=25. (3)当长方形的面积是700平方厘米时，根据题意，列得方程： x(60-心)=700. c2-50x+700=0, ·314● ==========第322页========== ".·么=(-50)3-41.700=-300<0， ·.这个方程没有实数根 答：(1)这个长方形模型的长是35厘米，宽是15厘米； (2)这个长方形模型的长和宽都是25厘米，这时 做成一个正方形； (3)要用100厘米长的铅丝做成一个面积是700 平方厘米的长方形，是不可能的 说明在问题(1)中，按照方程的解，可以得出长方形的长是35厘米、宽是15厘米，或者长是15厘米、宽是35厘米，但是这表明是同 一大小的长方形，因此，只要回答一种结果，不必重复 习题87 1.有两个数，它们的积是45，它们的差是4，求这两个数. 2。两个数的和是一吾，积是一品，求这两个数 3.三个连续正整数中，前两个数的平方和等于第三个数的平方，求这三个数 4.一个两位数等于它个位上的数的平方，个位上的数比十位上的数大3，求这个两位数. 5.某人民公社为了增产粮食，计划开辟一块面积是10800平方米的长方形水稻田，并且要使它的宽是长的75%，求这块水稻田的周长. 6.某工人从一块正方形的铁片上截去3尺宽的一条长方形，剩下的面积是40平方尺，原来这块铁片的面积是多少？ 7.两个正方形的面积的和是106平方厘米，它们周长的差是16厘米，这两个正方形的边长各是多少？ 8.用一块长方形的铁皮，把它的四角各自剪去一个边长是4厘米的小方块，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子。已知铁片的长是宽的2倍，做成盒子的容积是1536立方厘米，求这块铁片的长和宽： 9.有一块长30寸、宽20寸的铁板，要在它上面挖成一个面积是200平方寸的长方形的孔，并且使剩下四周一样宽，这个孔应该挖在什么地方？ ·315 ==========第323页========== 10,一张长20寸、宽16寸的年画，要在它的四周镶上一条同样宽 的金色纸边。如果要使金边的面积是年画面积的品，金边的宽应该 是多少？ [提示：第9和10两题，先根据题意画出一张示意图，然后列方程.]11,要做一个容积是750立方厘米、高是6厘米、底面的长比宽多5厘米的长方体匣子，底面的长和宽应该各是多少？（精确到0.1厘米.） 12.有一个两位数，它十位上的数与个位上的数的和是8，如果把 十位上的数和个位上的数调换后所得的两位数，乘以原来的两位数就得1855，原来的数是什么？如果乘以原来的数得1936呢？能不能得2665呢？ §8·8·一元二次方程的根与系数的关系 (韦达定理) 我们来看下面三个问题： (1)解方程心2-6+5=0，得它的两个根是 x1=1,c2=5. 如果计算这两个根的和与积，得 U1十2=6； 心1·x2=5 我们看到，心1十2=6，是方程里一次项系数-6的相反数；1·心2=5，是常数项. (2)解方程32+5-2=0，它的两个根是 1 1=g’2=一2。 如果计算这两个根的和与积，得 5 3 ·316● ==========第324页========== 2 1=-3· 也可以看到，十=-，是方程的一次项系数5除 以二次项系数3所得的商的相反数；=是带数项 2 一2除以二次项系数3所得的商 (3)解方程2x2-5心十1=0，它的两个根是 -+y,574 如果计算这两个根的和与积，得 十=5+厘+6-7=10-5 44=2 =5+17.5-V=8=1 44 -162· 同样可以看到，十一营，是方程的一大项系数-5除 以二次项系数2所得的商的相反数；1·心2=是常数项1除以二次项系数2所得的商 从上面的例子我们可以发现，一元二次方程的两个根与系数之间有着一定的关系 现在我们来研究一般形式的一元二次方程 a2+bc+c=0(62-4ac≥0)， 它的根与系数之间有没有这样的关系呢？ 我们知道，方程2+bx+c=0当2-4aC≥0的时候，它的两个根是 ーό+ -4a, = -b-V-42a 2a 把两个根相加，得到 ●317· ==========第325页========== 4十a=-b+√4ac+-6-√⑦=4ag 2a 2a -26 b2aai 两根相乘，得到 g=-b+VD-4a0.-b-√乃=4a8 2a 2a =(-b)2-(√62-4ac)2 4a* 4acc 4a3a· 从上所说的可以知道： 设x2+bc+c=0的两个根是和c2,那末 21+c2=-a ccg=a' 这就是说，一元二次方程的两个根的和，等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两个根的积，等于它的常数项除以二次项系数所得的商.根与系数的这种关系叫做韦达定理①， 在解一元二次方程时，通常可以用根与系数关系来检验所求得的根是否正确.例如，上面解方程2x2-5心+1-0时， 得到两个根是=5+Y1，=5Y7.观察到+公4 一它和-名-昌相一致会它他和日受相一 致，所以证实所求得的根是正确的.这样检验的方法，显然比 ①韦达是法国数学家(1540年一1603年). •318• ==========第326页========== 把根代入原方程检验的方法来得简捷， 注意应用韦达定理时，必须注意：（④）不能忘记除以二次项系数； (2)求两根的和，是一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数. 例应用韦达定理，求下列关于心的方程中两根的和与两根的积： (1)3a2+7-2=0 (2)x2+Yc+9=0 (3)aa2+c=0; (4)ac2=05 (5)ax2+6a-0. 解]设方程的两个根是1和x2. 2 （国+-骨：一景 (2)-一=ー-=g (3)c1+c2=01c1ce=- (4)1+c2=012=0. (5)如+购=- a1g=0. 说明1，从第(3)题可以知道，如果方程的两个根互为相反数，那末次项系数一定等于0 2.从第(4)，(5)题可以知道，如果方程有一个根是0，那末常数项 一定等于0.可与§82中的结论相比较. 习题88 1.不解下列关于x的方程，求两根的和与两根的积： (1)x2-7x-2=0; (2)2x2-5=0; (3)3x2+4x=0 (4)5x2+3x-1=0; (5)2ax2-5x=2; (@昌e+4a=l山 (7)V2x2-4V3x-2V2=0; ·319● ==========第327页========== 、(8)x2-2ax+a2=b2;(9)(a2-b)x2-4abx=a2-b2影(10)abx2-(a4+b4)x+ab3=0. 2.下列答案有没有错误？如果有错误，应该怎样改正？ (1)方程x+9x一8=0的两根的和是9； (2)方程2x2-9x+5=0的两根的和是9； 5. (3)方程2a2-9x=5的两根的积是号《④方程2如2+5-9如的两根的和是-号. §89韦达定理的应用 应用韦达定理，主要的是可以不通过解方程来解下面几种问题： 1。已知一个一元二次方程的一个根，求另一个根设方程a2+bc十c=0的两个根是心和x2,根据韦达定理，可以知道， 1+=一6 如果已知1，中的任何一个，就可以代入上面关系式里的任何一个而求得另一个根，并且还可以用另一个关系式来检验 例1.已知4x2-11c十6=0有一个根是2，求它的另一个根. [解]设另一个根是心1，那未 6 2=4 3 =4· 答：另一个根是是 ●820· ==========第328页========== 说明本题也可以从名+？=呈，求得-子，证明计算没有错 误。 2。已知一个方程的两个根，作出这个方程根据根与系数的关系，把已知两个根的和的相反数做所求方程的一次项系数，两根的积做常数项，而把二次项系数作为1，这样，就能作出这个方程. 例2.求作一元二次方程，使它的两个根是： (告和-3受 (2)3+√2和3-/2， 【解](1)设所求的一元二次方程是x2+pc十g=0(二次项系数作为1)，那末 p=-[告+(-3〗-(-0)-0(-용)- 所以所求的方程是 -- 2+1 去分母，得 10x2+27w-28=0 答：所求的方程是10x2+27-28=0 (2)设所求的一元二次方程是x8+2p十g=0,那末 p=-[(3+√2)+(3-√2)]=-6，g=(3+√2)(3-√2)=7. 所以所求的方程是 心2-6心+7=0 答：所求的方程是x2一6x+7=0, 说明1，设所求方程时，只须设x2+px十g=0的形式，也就是 ◆321 ==========第329页========== 二次项系数是1的二次方程形式，没有必要设二次方程的一般形式a+bx+c=0.这样可以减少计算上的繁琐.如果所求方程的二次项系数原来并不是1，那末在计算p和q的值时，会得到分数，这时去分母后所得的方程，它的二次项系数必然不等于1，例如第(1)题可以说明这 一点. 2.所求的方程，遇有分数系数时，通常要把它变形成为整数系数的方程. 3.这种类型的问题，在熟练之后，遇到已知两个根是比较简单时，可以直接写出所求的一元二次方程来，不必仍按上面那样的格式书写，3。已知两数的和与积，求这两个数利用根与系数的关系，我们可以把所求的两个数当作x2+p十g=0这样形式的一元二次方程（二次项系数作为1）的两个根，也就是说，把已知两数的和的相反数做一次项系数，两数的积做常数项而得出一元二次方程.然后解这个一元二次方程，那末方程的两个根就是所求的两个数. 例3.已知两个数的和等于10，它们的积等于22，求这两个数. 【解】根据根与系数的关系，得出方程 2-10w+22=0 解这个方程，得到它的两个根是 1=5+√3，xg=5-/3, 这就是所求的两个数 答：这两个数是5+√3和5-√3， 习题89(1) 1.(1)已知方程2x2-5x一3=0的一个根是3，求它的另一个根； (2)已知方程x2-4+1=0的一个根是2+√3，求它的另-个根； ·322● ==========第330页========== (3)1是不是方程3x2-64x+61=0的根？求这个方程的另一个根； (4)1是不是二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c一a)=0的根？它的另一个根是什么？(a-b*0.) 2.求作一个二次方程，使它的两个根是： 少-和 (2)0.6和0.5； (3)-7和0； (④)V②和- 3 (5)2√3+1和2√V3-1; (6)a+b和a+而 a-b a-b 3.已知两个数的和与它们的积分别等于下列各数，求这两个数： (1)和等于-5，积等于-14； (②)和等于品，积等于-；(③)和等于V,积等于； (4)和等于6a,积等于9a2-4, *4。已知一个一元二次方程，不解这个方程，求某些代 数式的值例，求对+说号+备，好+城，+清等 的值. 这些代数式都有一个共同的特点，就是经过恒等变形可以把它们变成含有1十和c2形式的代数式.这样，就可以利用韦达定理把1十心和心的值代入，而求得原式的值.现在分别研究如下： (1)1+i=(7+2c1cg十)-2c1心 =(a1十2)2-2c1c. (②)1+1=+ 1G2010g (3)经+=(c1+心2)(a1-心1心e+) =(1+g）[(+2accg+)-3c1c]=(a1十心2)[(1十3)2-3ac12] =(G1十心)3-3心心2(1十）， ●323· ==========第331页========== L1=i十腔=《1十9 T暗一ia暗 ( 从上面四个例子可以看到，这些代数式都可以变形成为是由心1十c2和心心2形成的代数式. 、 例4.已知方程2+3心-5=0.不解方程，求出：(1)它的两个根的平方和；(2)它的两个根的负倒数的和.[解】设方程的两个根是心1和心，那末根据韦达定理， +ax-分，=-号，3 、(1)好+2=(a心1+心g)2-2ac1心g (-》-2(〉- (2)-공--（+）-1+C302 149 2 3 6 5 2 ·答：两个根的平方和是7子，两个根的负倒数的和是一 5 *5。已知一个二次方程，不解这个方程，求作另一个二次方程，使它的根与原方程的根有某些特殊关系例如，求作 一个二次方程，使它的两个根是原方程的两个根的平方，或若是原方程的两个根的倒数等 设原方程的两个根是心1和心2，根据韦达定理，就可以求得原方程的两根的和与两根的积的值.根据题目里所给新方程的两根与原方程的两根的关系，可以用1和2的代数式写出求作方程的两个根；并且按照第4类问题那样，还可以求得新方程的两根的和与两根的积的值.再应用韦达定理，就可 ●824· ==========第332页========== 以求得新方程的系数，从而得出所求的方程来 例5.已知方程心2-3c一4=0.不解这个方程，求作一个新的一元二次方程，使新方程的根是原方程的各根的立方。 【解]设方程心-3a心一4=0的两个根是心1和心2，那末 1十c2=3，心1化2=-4. 设所求的新方程是 2+py+q=0, 它的两个根是1和y2,那末 1=i,y2=c3. 。1+y4=g3+c=(c1十心2)3-3c1心(c1十c2) =33-3.(-4)3=63; y12=2=(c1c2）3=（-4)3=-64,因此， 卫=-(1十y3）=-63,9=y13=-64, 所以所求的新方程是 y2-63y-64=0 答：所求的方程是y2-63y-64=0 说明1.i+端=(1+2)3一3x12(1+2)见第4类问题的(3). 2.解这种题目的步骤可以参照下列图表的程序： 原方程→原方程的两根的和与两根的积的值 新方程的两根的和与两根的积的值 新方程←一一新方程的系数 6。利用给出的条件，确定一个一元二次方程中某些字母系数的值根据韦达定理，列出含有某些字母的关系式，再解关于这个字母的方程，从而求得这个字母的值 例6，已知方程22+4c+m=0的两个根的平方和是34,求m的值. 43250 ==========第333页========== [解】设原方程的两个根是心和心，那末 マ m 一号=-2， +=(c1十2)2-2c12 =(-2°-2（受）-4-m, 根据题意，得 c子+=34. 4-m=34, ，m=-30 答：m的值是-30. “习题89(2) 1.设x和2是方程x2+4x一6=0的两个根，不解这个方程，求下列各式的值： 4)+ (2)x子+x12+x; (3)(1-2)(-2); 0量+국 2.不解方程，作一个新的二次方程，使它的两个根： (1)分别是方程6x-3c一2=0的两个根的倒数； (2)分别是方程3x2+5x…10=0的两个根的3倍； (3)分别是方程2x2-5x=12的两个根的平方； (4)分别是方程3x2-5x=5的两个根的负数； (5)分别是方程5x2+2x-3=0的两个根的负倒数； (6)分别比方程x+5x2=7的两个根大3. 3.(1)已知方程x2+mx+21=0的两个根的平方和是58，求m的值； (2)已知方程x2+2x+m=0的两个根的差的平方是16，求m的值； (3)已知方程x2+3x+m=0的两个根的差是5，求m的值； ·326• ==========第334页========== (4)已知方程+3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求m的值. 4.(1)已知方程2x2+ix-2m+1=0的两个根的平方的和是 7经，宋加的值： (2)已知方程3x2+(m+1)x+(m一4)=0的两个根互为相反的~数，求m的值. §8·10二次三项式的因式分解 我们看下面两个多项式： 2x2+7x-3:c2-3c+5 在这两个多项式里，未知数的最高次数是2次，并且都有三项，一个二次项，一个一次项和一个常数项，象这样形式的多项式，叫做心的二次三项式. x的二次三项式的一般形式是 ac2+bc+c(a≠0). 用不同的数代替二次三项式ax2+bac十c里的心，就得到 二次三项式的不同的值，也就是说，二次三项式的值是随着心的变化而变化的. 例如：当=-3，一2，一1,0,1,2,3,4的时候，二次 三项式x2-2c一3的对应的值如下表： -3 -2 -1 0 2-2花-3 12 5 -3 -3 0 5 从上面的表里可以看到，当心=一1或者3的时候，二次 三项式x2-2x一3的值等于零 能够使二次三项式a2+b+c的值等于零的x的值，叫 ●327◆ ==========第335页========== 做二次三项式的根（也训做二次三项式的零点）.例如，一1和3能使二次三项式x2一2c一3的值等于零，它们就是二次三项式x2-2c-3的两个根. 如果解一元二次方程x2-2c一3=0，得到方程的两个根是一1和3，它们和二次三项式x-2c一3的两个根相同.这是什么道理呢？因为解一元二次方程心2-2-3=0，实际上就是求出能使二次三项式x一2一3的值等于零的心的值. 同样道理，解一元二次方程a2+b心+c=0,实际上就是求出能使二次三项式ac2+b+c的值等于零的：的值.所以，二次三项式ac2+bx十c的根就是一元二次方程a2+bc+c=0的根，也就是： =-b+√b2-4ao2=-b-√624ac 2a 2a 例1.求二次三项式2x2一11x+12的根，[解]使2c2-11c+12=0,那末 (2c-3)(c-4)=0, 。1=与，g=4。 所以二次三项式2-1x+12的根是号和4. 例2.求二次三项式心2-2√2c一3的根[解]使x2-2√2c-3=0,那末 0=2√②±Y⑧+亚-2W②士2W6=√2±√6. 2 2 所以二次三项式x2-2√2心一3的根是 √2+√5和√2-√/5， 由于二次三项式aw+bw十c的根就是一元二次方程 ·328· ==========第336页========== ac+x十c=0的根，所以根与系数的关系对于二次三项式同样成立. 现在我们利用这个性质来研究二次三项式的因式分解。1。二次项系数是1的二次三项式2+pc+q设二次 三项式心2十px十q的两个根是1和x2,那末根据韦达定理，得到 G1+xg=一P, c12=9. 就是 p=-(十c2）), 9=1比2， 因此，二次三项式x2+p十q可以改写成下面的形式： 心2+pc十q=心2-（十2）x+1cg =心2-G1w-x2c十9=(x2-心1c）-(ac2-c1cg）=c(x-心）-c2(x-) =(-c1)(x-c2）. 这就是说，心的二次三项式，如果它的二次项系数是1，那末它等于心减去，个根所得的差，乘以如减去另。个根厅得的差 例3.分解心2+6x一27的因式. [解1心=-6±√86+108=-6±12 2 2 ..1=3，心2=-9. .x2+6c-27=(ac-3)[-(-9)]=(c-3)(+9).例4.分解心2一8c+3的因式. 【解1心-8±N4=亚-8±2®-4主√B, 2 2 ·829· ==========第337页========== 、.∴.1=4+13,2=4-√13.'.x2-8x+3=[c-(4+13)][-(4-√13)] =(-4-W13)(x-4+√13). 2。一般形式的二次三项式ac2+b十c二次三项式ac2+bx十c可以改写成下面的形式： a2+o+c-a(e+合a+8） 括号里的二次三项式的二次项系数是1，它的两个根和aa2+bac+c的两个根是一样的.如果设aac2+b心十c的两个根是1和心2，那末 음+용-(a-)(-)a ..ax?+6x+c=a(a-a1)(a-2). 这就是说，”的一般二次三项式如果有两个不相等的或者相等的根，.那末它等于二次项的系数乘以心诚去一个根所得的差再乘以心减去另一个根所得的差、 注意如果二次三项式的二次项系数不是1，分解因式时，决不能忘记两因式的积再乘以二次项的系数。为了保证因式分解的正确，可以把因式分解的结果乘出来，以作检验. 从上面所说的可以知道，在分解二次三项式的因式时，如果不容易直接从观察中得出两个因式时，可以先求出它的两个根1和c2,然后写成： ag2+62-c=a(a-a1)(x-02). 例5.分解32+心-14的因式. [解]心=二1±1+168=-1±18 6 6 7 .防1=2，g=-3 380◆ ==========第338页========== 8a2+r-14-3e-2)(e+写) =(x-2)(3c+7). 说明这里，把x+了莱以3，斜3x+7.这样使因式里不含分 数 例6..分解一4ax2+8-1的因式. [獬1G=-8±√64-16_-8±4√32干√8 -8 -8 2 m-2-8,4-2+8 2 2 ·-4绘+s-1-40-2-y(。-2+) =-(2-2+√3)(2-2-√/3)， 说明这里，把4看做2×2，然后把两个因式分别乘以2。例7.分解2ac2-8x+5的因式. [解1心-8±V64-40-8±2√6-4±√6 4 4 29 26，-4√6 =4+62 2-8e+6-2(-4+y(e-4-Y） 说阴这里系数2无法化去两个因式里的分数，因此保持原来形式. 习题810 1.什么叫做二次三项式的根？怎样求出二次三项式的根？ 、◆331· ==========第339页========== 2。当=-3，-2，-子-1,0,1，是，2,3的时侯，列表分别求二次三项式2-3：-2和2-号。-1的值。女是什么值的时侯，这 两个二次三项式的值相等？这两个二次三项式的根各是朴么？相等吗？ 3.分解下列二次三项式的因式： (1)x2+3x-28; (2)x2+7x+5; (3)3x2+2x-5; (4)6x2+7x+2; (5)4x2+x-3; (6)3x2-25x+2; (7)11-11x-2x; (8)1-3x2+5x; (9)x2-5ax+a2; (10)x2-6bx-(4a2-9b2); (11)4c2-4a2m+a42b4: (12)(a2-b2)x2-4abx-(g2-b2), 4.化简下列各分式： ④牛 6y2+7y-3 (2)15y-1y+2· [提示：先分解分子和分母的因式，再行约简.] 5.已二次三项式2ax2+(m+1)x+(⑤-m)的两个根相等，求m的值， §8·11利用十字相乘法分解 二次三项式的因式 在上一节里，我们已经学过利用求根公式的方法来分解 二次三项式的因式。这种方法适用于一般二次三项式的因式分解，特别是一些不能在有理数范围内分解因式的二次三项式.如果二次三项式可以在有理数范围内分解因式，并且各项系数比较简单，易于观察，就可以利用十字相乘法来分解因式 在代数第一册里，我们已经学过利用十字相乘法来分解 二次项系数是1的二次三项式的因式.例如， ·332。 ==========第340页========== ac+5x+6=(c+2)(x+3). 12 1/3 现在我们再来研究二次项系数不是1的二次三项式的因式分解.例如，2x2+13心+15，怎样利用十字相乘法来分解它的因式？ 我们知道，从乘法可以得到 (6+5)(2c+3)=2c2+(2×5)x+(1×3)c+15 =2c2+(2×5+1×3)花+15=2x2+13x+15 反过来，就得到 2x2+13c+15=(c+5)(2c+3) 从这个等式可以看出，分解22+13G+15的因式，只要 把二次项的系数2分解成两个因数，常数项15也分解成两个因数，使它们交叉相乘所得的两个积的和恰好等于一次项的系数13.因为观察得2=1×2,15=3×5，并且2×6+1×3→13，所以 2x2+13心+15=(w+5)(2c+3). 为了帮助我们观察交叉相乘所得的两个积的和是不是等于一次项的系数，在分解时也可以利用下面十字相乘的写法： 2/3 这样的因式分解方法（十字相乘法），显然比利用求根公式来分解因式的方法简捷得多 例1.分解3x2+5x-12的因式， ·333◆ ==========第341页========== [解1 32+5-12=(x+3)(3x-4). 例2.分解3ax2-5c-12的因式.[解] 1人-3 3/4 3x2-5c-12=(c-3)(3x+4). 例3.分解8x2-22+15的因式.[解] 8x2-22+15=(2c-3)(4c-5). 例4.分解12x2-2心-4的因式.[解1先提取公因式，得 12ax2-2x-4=2(6a2-心-2). 再分解6x2-心一2的因式， 2 2X1 '.12x2-2c-4=2(3c-2)(2ac+1). 习题811(1) 利用十字相乘法分解下列各因式： 1.(1)x2+11c+30; (2)x2-5x-36; (3)x+3x-28; (4)x2+33-14x. 2.(1)2x2-9x-5; (2)3x2+11x-4; (3)7x2+11x-6; (4)6x2-17x+10, 3.(1)6y2-7y+2; (2)6x2-7x-3; ●334· ==========第342页========== (3)8ax2-2ax-3; (4)152y2-22y-5 4.(1)8x2-14c-4; (2)6x2+3x-45; (3)20y2+26y-6; (4)36y2-39y+9. 5.(1)8x2+3-14x3 (2)y(5y+17)-12; (3)21x2-4(2ac+1); (4)6(3y+1)-31y. [提示：先把各式整理成二次三项式的一般形式.] 在§83里，我们已经学过利用因式分解法来解一元二次方程，但是在那里的一元二次方程，它的二次项系数都是1。对于二次项系数不是1的一元二次方程，前面我们都是利用§85里所讲的公式法来解.现在学会了十字相乘的因式分解法，我们就可以在有理数范围里，利用因式分解法来解这种方程。解方程的步骤和前面所讲的一样.例5.解方程：-3ac2+16c=5. T解]移项得 ー3x2+16c-5=0 把方程的两边都乘以一1，得 3ax2-16w+5=0. 把方程的左边分解因式，得 (c-5)(3c-1)=0, 使 c-5=0,..=5; 使 1 3ac-1=0,∴，化=3 1 所以原方程的根是=6，=言， 例6.解方程：6(3x2-)=一3x. 【解】整理后，得 18x2+3w-6=0. 方程两边都除以3，得 ·335 ==========第343页========== 6x2+x-2=0. 分解因式，得 (2c-1)(3c+2)=0. 使 2-1=0,.4= 使 3心十2=0，. 2 3 所以原方程的根是如=，=一多2 说明在解方程的时侯，如果方程左边各项的系数（数字系数或者不等于零的字母系数)有公因数，应该先把各项系数约简，再行解方程。 例7，解关于心的方程： (1)a2ac2-abx-262=0 (2)ab(2+1)=(a2+b)x(a≠0，b≠0). I解1·(1)a2ax2-abc-2b2=0.分解因式，得 (ax-2b)(ac+b)=0. 使 a-26=0,.a=26 使 +b=0,.购=-6所以原方程的根是必=26， (2)ab(x2+1)=(a+b2)c. aba2+ab-a2x-b2a=0 分解因式，得 ax(ba-a)-b(ba-a)=0, (bx-a)(ax-b)=0. ·336● ==========第344页========== 使 bx-a=0, 。°6中0， =石 使 ax--6=0, .°a+0, 6 心2=e 所以原方程的根是一分， 0g=b 省 习题811(2) 用因式分解法解下列关于x的方程： 1.(1)6x2-11x-7=0; (2)6x2-17x+10=0; (3)10x2+13c=3; (4)2-7c-15x2=0; (⑤)-14x2+6=17x; (6)12x2+3=13x; (7)2x(4x+13)=7; (8)6(2x2+1)=17x. 2.(1)ax2+（4ab-3b)x-12b2=0; (2)6abc2+(4a-3b)x-2=0; (3)3c2x2+5abx-2b2=0; (4)10m2x2-7mnc+%2=0; (5)(a2-b2)2+(a+3b)x=2(a2+b2). §8·12二元二次多项式的因式分解 多项式里，如果含有两个未知数，而次数最高的一项的次数是2，例如，2a2+y-3y2或者x2十c则-2y2-心+7则-6，这种多项式叫做二元二次多项式，它的因式分解可以按照二次 三项式的因式分解方法来进行.方法是：在这种多项式里选择某一个未知数作为元，把另一个未知数看做是这个元的系数或者常数项，那术，可以按照二次三项式那样求得根，再行 ·337·, ==========第345页========== 分解因式 例1.分解2c2+则-3y2的因式. 分析如果选择x作为元，把y看做x的系数，~3y看做常数项，那末22+y一3y是x的二次三项式. 【解】x=二g±√+2一-y±5型 4 3 。‘。1=,优g=一. ‘22+到-g=2e-g0(e+8) =(c-y)(2c+3y). 说明1.本题也可以看做是y的二次三项式-3y2+cy+2,把c看做y的系数，2x2看做常数项.于是 yーー±√+242=x士5x 6 -6 ∴.=3心，为=x. -3+w+2s-3(+号g-) =-(3y+2c)(y-x) =(ェーy)(2a+3y). 两种方法的结果相同。 2.这类题目可以利用十字相乘法分解因式，比较简捷。例2.分解x+cy-2y2-c+7则-6的因式.[解]把原式整理成为x的二次三项式，得到 x2+(y-1)x-22+7y-6. c=-(-1)土√g-1)+4(2g-7g+6 2 =-y+1±√9y2-302+25 2 ·838· ==========第346页========== =二y+1±(89-5）， 2 .1=y-2,=-2y十3。 .c2+y-22-心+7g则-6 =[x-(y-2)][c-(-2y+3)]=(-y+2)(x+2则-3). 习题812 1.分解下列各式的因式： (1)x2+3xy-10y; (2)3x2-11cy+6y2; (3)-x2-6cy+7y; (4)-2x2+11ay-122; (5)3ax2+4xy-1522; (6)15x2-23xy+4y2; 、(7)6x2-4xy-2y; (8)8x2+18xy+42; (9)x2-2axy-3a2y2; (10)2a2x2+5abr%-36y2. 2.分解下列各式的因式： (1)2x2+y-3gy2+x+4g-1; (2)x2-xy-6y2+x+7y-2; (3)6ax2-xy-15y2-5.x+21y-6; (4)10x2-23:xy-5y+13x+8y-3. §8·13双二次方程 我们看下面一个方程： 4-29x2+100=0 这个方程虽然是，的四次方程，但是，它只含有4项、心2项和常数项，而不含有心3项和x项 象这样，只含有未知数的偶次项的一元四次方程，叫做双 二次方程. 双二次方程的一般形式是： aa4+ba+c=0(a≠0). 339。・ ==========第347页========== 解这类方程，我们可以用辅助未知数y来代替式子里的,这样，x4就可以用y来代替.于是上面这个一元四次方程就改变成关于y的一元二次方程： a2+b则+c=0(≠0). 这种用辅助未知数解方程的方法，叫做辅助未知数法（也叫做换元法). 例如，在上面的方程4一29a2+100=0中，设心2=y,那末，原方程就变成 y2-29y+100=0. 解这个方程， (则-4)（则-25）=0， ..h1=4,y2=25. 求出y的值以后，只要求出每个值的平方根，就可以得到原方程的根、 当1=4时， 2=4,∴.6=土2 当y3=25时， x2=25,..化=土5. 所以原方程的根是c1=2,=一2，G3=5,4=一5，例1.解方程：4-25c2+144=0. 【解】设心2=y,那末心4=y,于是原方程就变成 y2-25y+144=0. (y-9)(gy-16)=0, .∴.1=9，a=16. 当1=9时， 心2=9，∴。心=土3 当=16时， ●840· ==========第348页========== 心2=16，.心=土4。 所以原方程的根是：如=3，心=一3,3=4,44例2.解方程：心4+5x2-36=0.解]设x2=y,于是原方程就变成 y2+5y-36=0. (则-4)(y+9)=0, 、g1=4,y=-9. 当y1=4时， c2=4,'、花=士2。 当ya=-9时， x2=-9. 因为任何实数的平方都不能是负数，所以x=一9没有实数根 所以原方程只有两个实数根：1=2，心2=一2，例3.解方程：c4+132+36=0,[解]设2=y,得 y+13y+36=0. (则+4)(g+9)=0, ”。1=-4,y=-9. 也就是 2=-4,2=-9. 这两个方程都没有实数根.所以原方程没有实数根. 从上面三个例子可以看到，解双二次方程时，在利用辅助未知数y把原方程变成 ar+by+c=0(a≠0) 的形式后，如果4=2-4ac≥0，就得到方程的两个根1和。如果1和都是正数，就得到x的四个根：=士√1， ·341· ==========第349页========== 土√y2;如果1和2中一个是正数，一个是负数，就得到心的两个实根；如果1和都是负数，那末原来的双二次方程没有实数根. 例4.解方程：4-82=0 E解]原方程就是 c2(2-8)=0. 使 x2=0,.m1=0,cg=0 使 x2-8=0,x=士2√2， .3=2W2,4=-2√2. 所以原方程的根是 1=0,xg=0,3=2√2,4=-2/2从这个例子可以看到，如果双二次方程里的常数项等于零，那末它一定有两个根等于零. 习题813 解下列各方程： 1.(1)x4-5x2+4=0: (2)x4-13x2+36=0; (3)4x4-5x2+1=0; (4)36x4-25x2+4=0, 2.(1)x-72-18=0; (2)2x4-7x2-4=0; (3)25x+71x2-12=0; (4)x4+82+15=0, 3.(1)2x4-19x2+9=0; (2)x4-5x2+6=0; (3)x4-24x2+144=0;(4)81x4-400x2=25 4.(1)(x+1)4-10(x+1)2+9=0; (2)(2x+1)￥-8(2ax+1)2+15=0. §814可以化成一元二次方程来解的 其他特殊的整式方程 某些次数高于2次的一元整式方程，也可以利用因式分 0342● ==========第350页========== 解或者换元法把它们化成一元二次方程来解。下面举例来说明. 例1.解方程：2x3-3x2-14c=0. 【解]原方程就是 x(2c2-3-14)=0. 使 x=0,∴.1=0 使 2c2-2c-14=0,(2c-7)(c+2)=0, 2g=-2. 所以原方程的根是1=0，=了,=-2. 例2.解方程： (2+2x)3-14(x2+2x)-15=0. [解]设2+2c=则，于是原方程就变成 y2-14y-15=0. (则+1)(y-15)=0, ,.y1=-1,y2=15. ,当1=一1时， x2+2c=-1,c2+2c+1=0,(c+1)2-0, .c1=-1,xg=-1, 当y2=15时， x+2c=15,c2+2c-15=0,(ac-3)(c+5)=0, ..c3=3,4=-6。 所以原方程的根是c1=一1，c2=一1，c3一3，c4--5.注意这里当y=一1时，得到x2+2x=一1，方程是成立的，不能和上节例2或例3中所讲的x=一9或x2=一4那样就说方程没有实数根. 例3.解方程， ●843· ==========第351页========== (2ax2-3心+1)8=222-33c+1, 分析如果把方程左边的(22-3x+1)2展开出来，就要得到一个 一元四次方程，解起来就比较麻烦.现在利用换元法来解，设法把方程右边变成有(22-3w+1)项的形式.因为22x2-33x=11(2x2-3x),所以只要添上一个常数项11，就可以得出11(2-3x+1)了.[解]原方程可以变形成 (2ax2-3+1)2=(22x2-33x+11)-10, 就是 (2m2-3x+1)2-11(22-3x+1)+10=0.设2x2-3ax+1=y,于是方程就变成 y2-11gy+10=0. (y-10)(y-1)=0, .y1=10,y9=1. 当1=10时， 2ac2-3w+1=10, 2c2-3c-9=0, (-3)(2ac+3)=0, 、=8,-3 2 当=1时， 22-3心+1=1， 2x2-3c=0, x(2c-3)=0, 3 ∴ =0,04-・ 所以原方程的根是=品，一多 2，x8m0,x4= 例4.解方程： (4x2+3)(4x2+2)=12。 ●844● ==========第352页========== 分析方程左边可以看做[(4x2+2)+1](4x+2),这样，.就可以得出(4x+2)2+(4x2+2)的形式了. [解]原方程就是 (4x2+2)2+(4x2+2)-12=0. 设4x2+2=y,于是方程就变成 y2+y-12=0. (y-3)(y+4)=0, .1=3,2=一4. 当1=3时， 4c2+2=3,4x2=1, 、如=土7、 当2=-4时， 4x2+2=-4. 因为x不论是任何实数，42+2总是正的，所以4x2+2 一4在实数范围里没有意义，因此，方程没有实数根 所以原方程有两个实数根。=司，=-是， 说明如果把方程左边乘出来，得到一元四次方程，解起来就困难了. 习题814 解下列各方程： 1.(1)x3-3:x2-10x=0; (2)3x3+13x2+4x=0; (3)4x3=3x; (4)5c3+2x2=0. 2.(1)(6x2-7x)2-2(6x2-7x)-3=0; (2)(2-x)2-10(x2-x)=24. 3.(1)(x+2c)2-3x2-6c=0;(2)(2.x2-3)2-8x2+12=0; ●345•： ==========第353页========== (3)(3x2+1)(3x2+2)=12; (4)(x2-2x+3)2=4x2-8x+17. §815分式方程 在第一章里，我们已经学过可以利用一次方程来解的分式方程，现在进一步学习可以利用二次方程来解的分式方程。我们知道，解分式方程，需要把方程的两边同乘以一个含有未知数的整式，去分母后，使它变成一个整式方程，所以有引进增根的可能，因此最后必须把从整式方程中求得的根代入所乘的整式（或者代入原方程中各分式的分母）去检验：不使这个整式等于零的根就是原方程的根；使这个整式等于零的根就是增根.所有这些解分式方程的原理和步骤，现在同样适用. 例1.解分式方程： 13c-2 1-91=2. 【解]最简公分母是(1-x)(1+).用(1一x)(1十x)乘方程的两边，去掉分母，得 1+x-(3-x2)=2(1-x)(1+x). 整理后，得 3ax2-2x-1=0. (3x+1)(-1)=0, 小=-京-1 检验把=一骨代入1-)1+或，它不等于袋， ·348• ==========第354页========== 、。=-}是原方程的根 把G=1代入(1一心)(1+x),它等于零， ∴.心=1是增根。 所以原方程的根是如=一宫·1 例2.解方程： 中+2gg.18 【解】方程两边都乘以2-9，得 x(x一3)十w(c+3)=18 整理后，得 2c2=18 。.x1=3,02=-3. 检验把心=3或者c=一3代入x2二9，都等于零，所以配=3和=一3都是增根， 所以原方程没有根。例3.解方程： 3-4=1-2 G-2G-1心-4心-3· 解]两边分别通分，得 3ac-3-4x+8_x-3-2am+8(x-1)(龙-2)(x-3)(龙-4)· 化简后，得 -x+5 -花+5 2-3c+2x27a+12· 去分母，得 (-c+5)(x2-7c+12)-（-c+5)(x2-3x+2)=0.(-c+5)[(a2-7x+12)-(x2-3x+2)]=0, ·847● ==========第355页========== (-龙+5)(-4+10)=0， G=5,xm=分. 检验把a一5和云一受分别代入原方程中，分母都不等于零，所以它们都是原方程的根 所以原方程的根是心=5，也一 2 说明1.这个方程如果一上来就去分母，计算比较繁复，所以采用两边分别通分的方法，可以简便一些 2.주到“ -x+5后，决不能把因式一x+5约 去，否则就要失去一个根x=5, 例4.解方程： 2(am2+1)+6(+1) +1 分析这个方程如果一上来就去分母，会得到一个四次方程，解起 来就有图难。但是行细观察-下，发见两个分式子和骨 x+中的 分子和分母互相调换.根据这个特点，所以利用换元法来解 【解1设心+1 心十1 ”那末牛一子于是原方冠就 变成 2+6=7. y 由此得 2g2-7g则+6=0， (2则-3)(y-2)=0, . 3 1=之，9=2. 当所一号财， c2+13 w+12 ●348· ==========第356页========== 2c2-3w-1=0, 。x3±W7 4。 当y=2时， x2+1=2, x+1 x2-2c-1=0, m=2±⑧-1士√2. 2 检验把一3±√174 x=1士√2分别代入原方程 中，分母都不等于零，所以它们都是原方程的根. 所以原方程的根是一3生Y互，”-1士√2 例5.甲、乙两组工人合做某项工作，4天以后，因乙组另有任务，剩下的工作由甲组独做，2天后才完成.已知独做这项工作，甲组比乙组可以快3天完成.求各组独做这项工作所需的天数 【解]设甲组独做这项工作需“天，那末乙组独做需(+3)天 甲，乙两组合作4天，做这项工作的4（侣+十3）甲组独做2天，做工作的2(）. 根据题意，得 (侣+)+()-1 4 就是 6+4。 公+3-1. 两边都乘以(+3)，得 6(x十3)+4=x(+3), ●349● ==========第357页========== 整理后，得 62-7c-18=0. (c-9)(x+2)=0, ..c=9,x2=-2 因为心=9或者x=一2都不使x(x十3)等于零，所以它们都是原方程的根. 但是实际工作的天数不能是负数，所以⑧=一2不是应用题的解. 从=9，得 c+3=9+3=12. 答：甲组独做需9天，乙组独做需12天。 习题815 1.解下列各方程： (1)22 2a 21一+1 (2)1一2=1 )-2与-0；④++-1+72x-7x-3 x-1x+I=2(x2-1)1 21 (5)2年一2-2玩十x2+26-0. 2x2+2x + (G) +xi=2-T (7)1-1=16-第 2- x-2-3x2-12; ()5+量구x-3x-45 [提示：(7)、(8)两题中，分别先把3x2-12和x2-17x+60分解因式] (9)x+1 2x-2 ·6x (x+3)(x-1可)(+3)(2-0）（①-x)(x-2 )()+는(+다)-고3 ◆350● ==========第358页========== 2.用换元法解下列各方程： 田+； T·3x223+g号 20 (3)2+8マ+3=8；(4)2+x+1=2 22+c (일)+()-4-0 (5) o(e+》-(e+)+5-0. 3.解下列关于的方程： =a+是， (②)x+-1 4.一个生产队计划在一定时期内种蔬菜60亩，在播种的时候，每天比原定计划多种了3亩，因此提前1天完成，实际种了几天？ 5,甲、乙两个工程队合做一项工程，16天可以完成.两队一起工作了4天后，剩下的工程由乙队独做，所需要的天数比甲队单独完成全部工程所需要的天数多12天.求甲、乙两队单独完成全部工程所需要的天数。 6.甲、乙两个车站相距96公里.快车和慢车同时从甲站开出，1小时后，快车在慢车前12公里.到达乙站，快车比慢车早40分钟.快车和慢车的速度各是多少？ [提示：1小时后，快车在慢车前12公里，就是说，快车的速度比慢车每小时多12公里.] 7.一汽艇顺流下行63公里，到目的地，然后逆流回航，共航行了5小时20分钟.已知水流速度是每小时3公里。汽艇在静水中的速度是多少？汽艇顺流下行和逆流回航的时间各是多少？ §816无理方程 我们来看下面一个问题： 某同学制造模型，要用一条36寸长的铅丝弯成一个直角 三角形，使它的一条直角边等于9寸。应该怎样弯法？ :●351· ==========第359页========== 如果要正确地弯成一个直角三角形，就必须先知道另一 条直角边的长. 设另一条直角边的长是x寸，那末根据勾股定理，斜边的长是√81+a寸（图83）. /81+ 因为铅丝的全长是36寸，所以得9+w+√/⑧1+x2=36 这个方程的未知数x含在根号里.象这样根号里含有未知数的方程， 图83 叫做无理方程 例如，心=√2c+3,1-元+√12+元=5,3/3+工 =x+1,一i+名与=√c+8等都是无理方程，但是 3a-1 方程+8ー-0，ー2-】等都不是 无理方程，因为这些方程中根号里都不含有未知数.这两个方程中，前者是含有无理数系数的整式方程，后者是分式方程，也含有无理数系数、为了和无理方程区别起见，我们把以前所讲的整式方程和分式方程统称有理方程。 下面我们来研究无理方程的解法。我们先来看下面的方程： c=W2c+3, (1) 为了把这个方程变形成有理方程，所以把方程(1)的两边平方，得 心2=2x+3, (2) 解这个方程， c2-2c-3=0, ·352◆ ==========第360页========== (-3)(g+1)=0, .C1=3,g=-1. 显然，心=3和心=一1都是方程(2)的根.但是，它们是不是也都是方程(1)的根呢？ 把心=3代入方程(1)，左边=3，右边=√6+3=3，所以 G=3是方程(1)的根 把心=一1代入方程(1)，左边=一1，右边=√-2+3=1，所以x=一1不是方程(1)的根，它是解方程过程中引进的增根. 为什么会引进增根呢？下面来研究产生增根的原因。方程(1)就是 x-√2c-+3=0. 方程(2)就是c2一(2十3)=0，也就是 (c-√2x+3)(x+√2c+3)=0. 此较这两个方程可以知道，方程（②）除了含有方程 G-√2c十3=0的根之外，还有方程x十√2x十3=0的根.上面说过，c=3是方程x一√2x十3=0的根.再看，把G=一1代入方程然+√2c十3=0，可知c=-1是方程心+N2+3=0的根.因此，方程(2)除了含有方程心一2c+3=0的根 G=3之外，还有方程心十W2x+3=0的根心=一1， 由此可知，增根x=一1是由于把方程(1)的两边平方引进的.因为把方程(1)的两边平方，实质上就是把方程 G一√/2c+3=0的两边同乘以w+√/2c+3,而得到方程(-√2+3)（心+√2c+3)=0. 我们知道，·把方程的两边同乘以一个代数式是可能引进增根的 一般地说，如果把方程的两边都乘方相同的次数，那末就 ·353· ==========第361页========== 有产生增根的可能. 从上面的例子知道，解无理方程时，为了要使它变形成为有理方程，就需要把方程的两边都乘方相同的次数，这样就有产生增根的可能。因此，解无理方程时，必须把变形后所得有理方程的根，代入原方程进行检验，如果适合，那末它是原方程的根，如果不适合，它就是增根 从上面所说的可以知道，解无理方程的一般步骤是： (1)把原方程适当的移项，然后把方程的两边都乘方相同的次数，使它变形成一个有理方程；(i)解这个有理方程； (1)把解有理方程所得的根，代入原方程中进行检验.适合的，就是所求的根 例1.解方程：√32+E+2=4, 【解]·移项，得3c2+=4一2，两边平方，得 3ax2+x=16x2-16x-+4, 整理后，得 13-17x+4=0 (-1)(13x-4)=0, .1=1,=134 检验把心=1代入原方程， 左边=3+1+2=4，右边=4×1=4， .x=1是原方程的根、 把公=音代入原方程， ·354· ==========第362页========== 左、（）+듬+2-/200+2=2W169 13 右边=4×313 13’ 4 血一3不是原方程的根，而是增枝。 所以原方程的根是x=1, 说明1.计并需应该取算术根沿.如果取-设，/100 那末左边 一1骨，由此把：-告看做方程的根是错误的. 2.解这无理方程的第一步是先移项，移项的目的是使两边平方后能变形成有理方程，如果不先移项而直接两边平方，那末会得到：3x2+x+4√3x2+知+4=162，这样就达不到化去根号的目的，平方后得到的还是无理方程.这点应该注意. 例2.解方程：√1-+√12+c=5 【解]移项，得√1一花=5-√12+平方，得 1-w=25-10/12+G+12-+0 再移项，得 10/12+花=2x+36, 就是 5W/12+=+18. 平方，得 300+25x=x2+36x+324, 、x3+11c+24=0, (x+3)(c+8)=0, .c1=-3,c2=-8. 检验把心=一3代入原方程， 左边=√4+/9=5，右边=5， ●855· ==========第363页========== ·.化=一3是原方程的根 把G=一8代入原方程， 左边=√9+√4=5，右边=5， .心=一8是原方程的根 所以原方程的根是心=一3和心=-8。说明1.如果不先移项，直接平方，就得到 1-x+2V1-)(12+x)+12+x=25, 解起来就比较繁复， 2.这里要平方两次才能化去根号.例3.解方程： N2m+9-√-4-√/c+1=0. [解]移项，得√2x+9=√无一4+√+1，平方，得 2+9=x-4+2√/(c-4)(c+1工)+x+1,整理，得 2√(c-4)(w+1)=12, N(x-4)(花+1)=6， 平方，得 c2-3-4=36, c2-3心-40=0， (-8)(x+5)=0, .c1=8,wg=-5. 检验把x=8代入原方程， 左边=√25-√4一√9=0，与右边相等， ∴.化=8是原方程的根. 把心=一5代入原方程，平方根号里的数是负数，负数的平方根没有意义，所以把它舍去。 、856· ==========第364页========== 所以原方程的根是心=8. 从这个例子我们可以看到，验根是解无理方程的必要步骤之一.但是，对于有些方程，根据根式的意义，可以直接判定它没有实数根，不必解方程后再行验根，这样可以简捷得多。 例4.不解方程，说明下列各方程为什么无解： (1)Wc+2=-3,(2)Wc+1+1=0; (3)√2c+3+√3x+1=-6. [解](1)因为，如果心+2>0，那末取算术根，√x+2>0;如果x十2=0，那末+2=0；所以√c十2不可能得负数.如果x+2<0,√c十2没有意义. 因此，方程√c+2=一3无解。 (2)因为√c+1≥0，那末，Wc+1+1>0,所以/+工+1不可能等于0. 因此，方程√心+1+1=0无解 (3).·W2c-1≥0，√8x+1≥0， .·.W2w-1+W3w+1≥0 因此，方程√2c-1+W3+1=-5无解。 习题816(1) 1,下列关于x的方程中，哪些是无理方程？哪些不是无理方程？ )(V3+)+-국， (3)va+-; (3)/2x-/3c=0; (4)1 解下列各方程(2~4)： 2.(1)x+Vx-2=2; (2)2Vc-3=c-6; (3)5V/2x+3-3-2x=0; (4)√(c-2)(x-3)-√2=0； (5)√4x2+E+10=2c+1, ·857· ==========第365页========== 3.(1)Vx+10+Vx-1i=7;(2)V2x+1-√x+2=2W/3; (3)V+3c-1-√2-x-1=2; (4)エVx2-4=02+2x; (5)√x+3Vx+1-3=0. 4.(1)V④x+5+√/z+1=V/9x+10; (2)V3x+1+V4x-3-V5x+4=0; (3)√/x-7-√-10=V+5-√d-2; (4)V√7花-5+√/4x-1=V√70-4+V/④w*2. 5.不解方程，说明下列各方程为什么无锯： (1)√x2+0-6=-2; (2)V5x+3+4=0; (3)√2c-3+√+4=0； (4)√x2-9+V3x-1+2=0. 下面再讲儿个比较复杂一些的无理方程的解法。例5.解方程：c-3-4c-7=1. I解]移项，得3-4c-7=c一1.两边都立方，得 c3-4x-7=c3-3x2+3ax-1, 3ax2-7c-6=0, (x-3)(3x+2)=0, 4-8,4-2 3 检验后知道，它们都是原方程的根说明如果不移项，直接乘立方，那末会得出 3-3.x2/x3-4x-7+3x(/8-4x-7)2-(x8-4x-7)=1.这样，不仅计算繁复，而且没有化去根号，无从求解。 例6.解方程： W/③e-I+2=W/6x+3. 3a-1 [解]方程两边都乘以√3c-1,得 ·358◆ ==========第366页========== 3x-1+2=6ac+3.√3e-1, 就是 3c+1=√(6+3)(3x-1). 两边平方，得 9x2+6x+1=15c2+4x-3, 6ax2-2c-4=0, 3c2-G-2=0, (x-1)(3x+2)=0, =1,2=-2 检验后知道，x=1是原方程的根；x=号将使平方根号里的数是负数，所以把它舍去例7.解方程： 2x2+3x+3=5WJ2x2+3a+9 分析如果把方程的两边平方，那末会得出x的四次方程；一般不能解，即使能解，也很繁琐.可是我们观察一下，在被开方数2x2+3x+9和左边的有理式：2x2+3如+3中，二次项和一次项都是相同的，只有常数项不同，我们可以设法把2：x2+3x+3变形成为(2x2+3c+9)一6，这祥，就可以引进辅助未知数利用换元法来解 【解】原方程变形成为 (2c2+3c+9)-6=5√/2ax2+3x+9 设/2ax+3c+9=y,那末2ax2+3ac+9=y2,原方程变为 gy2-6=6则， 就是 y2-5g-6=0, 、1=6,y9=-1. 当y=6时， /2ax+3ac+9=6, ·359。\ ==========第367页========== 2a2+3心+9=36， 2ax2+3x-27=0, (c-3)(2x+9)=0, 、g3,8=-9 当y=一1时， N/2x3+3x+9=-1, 根据算术根的规定，√2x2+3x+9=一1是不可能的，所以这个方程不必去解. 检验把心=3，=一豆分别代入√2a2+3x+9=6,都适合，所以它们都是原方程的根. 所以原方程的根是心=3，心二一 2· 说明1.检验时为了简便起见，只要把求得的根代入方程 V2a2+3x+9=6 中，不必代入原方程， 2.解题时遇有象√2x2+3c+9=一1这种情况时，只需说明方程无解，不必再做。 习题816(2) 解下列各方程(1~4)： 1.(1)/x+1=x+1; (2)/3-√e+五+/Z=0. 2.(1)Vc+1+-6=0; Vx+1 (2)y 1 1 Vi+i V1v10 (3)Vx+3+Vx-5 Vx+3-Va-5[提示：先把分母有理化.] ●360· ==========第368页========== 3.(1)x2+8x+Vx2+8=12; (2)x2-5x+2√x2-5x+3=12; (3)6√x2-2x+6=21+2c-x2 (4)3x2+15x+2√x2+5x+1=2; [提示：移项后，把3m2+15x-2变形成3(x2+5x+1)-5.] (5)4x2-10x+V2x2-5x+2=17; ②c+2c+27 (6)V”+2-V2c*22· 2ac+2 提示：设V如+2=以. 4.(1)2/+/8-3=0;(2)√知-3+6=5c-3. 5.有一个数，它的平方根比它倒数的平方根的10倍多3，求这个数。 本章提要 1.一元二次方程的分类 完全的b+0,c≠0，ax2+bx+c=0, ax2+bx+c=0(4卡0) 〔c≠0，ax2+c=0, b=0 【不完全的 【c=0,ax2=0,b卡0，c=0,ac2+bx=0, 2,方程ax2+bx+c=0的根的公式 c=-b±VB-4ac (b2-4ac≥0)， 2a 3.方程ax2+bx+c=0的根的判别式 4=b2-4ac. 判 别·式 方程的根 4>0 两个不相等的实数根 =0 两个相等的实数根 ≤0 没有实数根 ·361· ==========第369页========== 4.方程ax2+b心+c=0的根与系数的关系（韦达定理）设ax2+bx+c=0的根是1和2，那末 西= ba’ a 5,二次三项式ax2+bx+c的因式分解设a2+bx+c的根是x1和2，那末 ax2+6x+c=a(x-1)(x-22) 6.双二次方程的解法 (1)先设x2=y; (2)解关于y的一元二次方程； (3)求出x的值以.无理方程的解法 (1)先把原方程变形成有理方程； (2)解所得的有理方程； (3).进行检验. 复习题八 1.在一元二次方程x2+bx+c=0中(a+0), (1)当b=0时，用什么方法来解比较方便？这时a和c的符号应该怎样，方程才有实数根？在什么情况下，方程没有实数根？ (②)当c=0时，用什么方法来解比较方便？这时方程的根是什么？ 2.解下列各方程： (1)√3(x2-x)=√2(x2+x); (2)(x+1)(x-1)=2V/zx; (3)(c-1)(x-3)=(2c-1)2: (4)(x-2)2(-7)=(x+2)(x-3)(c-6); の(-)(ー)+(-号)(~)-（ー）（ーる）。 3.龙是什么数值时，代数式2x2-x+1与 (1)2x+6相等？ 1 (2)2-r+1相等？ (3)√2x2-x+3相等？ ●362· ==========第370页========== 4.是什么数值时，下列方程有两个相等的实数根？ (1)(k+2)x2+6x+4k+1=0; (2)x2+2(k一4)x+k2+6k+3=0. 5.m是什么数值时，方程2(m+1)x2+4mc+3m-2=0(1)有两个相等的实数根？(2)有一个根等于零？(3)两个根是互为相反的数？ 6,求证方程(x一a)(x一4一b)一1=0有两个不相等的实数根. 7.(1)求作一个一元二次方程，使它的根是方程ax2+bx+c=0的根的倒数，相反数，飞倍； (②)求作-一个一元二次方程，使它的两个根各比方程ax+bx+c=0的两个根大飞。· 8.分解下列各式成：的四个一次因式的积： (1)(x2-5x)2+10(x2-5x)+24; (2)x4-(a2+b2)x2+a2b2. 9.解下列方程： (1)(x2-x)2-4(2x2-2x-3)=0; [提示：把4(2心-2m一3)变形成8(x2-x)+12,再利用换元法解.] (2)(+5c+4)(x2+5x+6)=120,[提示：设x2+5x=y.] 10.解下列各方程： (1)(x-2)=3(x-2) (2)+3x=心2-5x十2 。42; 2-5=x2+3z (3) 32 1 π+5x+4=E+3一您+2 x+7 x+3 (（④）2二7+3+-2x-3+2m+2-=0好(⑤)8(2+20）+3(m_1)-11. x2-1 x2+2c 11.解下列关于x的方程： (1)x2-4ax+4a2-b2=0; (21-1-11 元-a-6=x-a-b(ab+0,a+b≠0)； (3)a2b2x4-(a4+b4)c2+a2b2=0(a+0,b+0); ·863· ==========第371页========== (4)Va-x+Vx-6=Va-6 (a>6), 12.解下列各方程： (1)xV2-4=22+2ax; (2)V√e+Wc√V1-=1; 8a爱-2-好④V++V平0Va+1+Vx-I $=2.05； (5)(x-3)2+Vx2-6x+16=13; (6)2+3-V②-3+3=+1). 13.解下列各方程： (1)3ア+18+8+13=6; (2) (r-1)3-2(α-1)*-15； (3)x-32-10=0: (4)8x号-65x+8=0； (⑤)1+8x3+9/3=0. [提示：第(3)题中设x在=；第(4)题中设x=y.] 14.要做一个容积是750立方厘米、高6厘米、底面的长比宽多4厘米的长方体匣子，底面的长和宽应该各是多少？（精确到0.1厘米.）15,甲、乙两队学生，到离校1.4公里的地方去劳动，甲队比乙队每小时多走0.7公里，所以早到4分钟.两队学生每小时的速度各是多少公里？ 16.一个两位数，它的个位上的数比十位上的数大1，如果把个位上的数与十位上的数互相交换，那未所得的新数的倒数比原数的倒数 小，求这个两位数， 17.一个木工生产小组准备用6立方米杉木做课桌椅若干套.如果每套课桌椅节约高立方米杉木，那末就能多做3套。原计划儆多少 套？ 18.一个泥工小组，砌一道砖墙，原计划在一定日期里砌20000块砖.按原计划工作2天后，由于改进了技术，结果每天比原计划多砌2000块砖，因此提前1天完成.原计划每天砌多少块砖？实际砌了几天？ [提示：设原计划每天砌x块砖，再根据天数的等量关系列方程.] ·364· ==========第372页========== 第九章二元二次方程组 §9·1二元二次方程组 在第三章里，我们学过一次方程组，并且知道可以利用代入消元法或者加减消元法来解，现在进一步来研究一些比较简单的二元二次方程组。我们来看下面两个问题： (1)已知直角三角形的斜边长25尺，两条直角边的和等于31尺，求两条直角边的长.设一条直角边是c尺，另一条直角边是y尺（图91），那末根据题意得到方程组： 25 十y=31, (1) し2+g2-253 (2) 解这个方程组，就可以求得两条直角边的长， 图91 (2)两个正整数，它们的积是221.如果一个数减去4，另一个数加上2，那末它们的积就等于171，求这两个数. 设一个数为心，另一个数为则，那末根据题意得到方程组： y=221, (-4)(y+2)=171. 整理后，得 awy=221, (3) ry+2-4u=170. (4) 365· ==========第373页========== 解这个方程组，就可以求得这两个数， 从上面两个问题得出的方程组来看，每个方程里都含有两个未知数；第一个方程组里的方程(1)，含有未知数项的次数都是1；第一个方程组里的方程(2)和第二个方程组里的方程(3)，含有未知数项的次数都是2；第二个方程组里的方程 (4),含有未知数项的最高次数是2 注在一个整式方程中含未知数的项的次数是这样计算的：如果这一项只含一个未知数，那末这个未知数的指数就是这一项的次数；如果这一项含有两个或几个未知数，那末这些未知数的指数的和就是这 一项的次数.例如，在方程2+2：y+y+3.x+3y-4=0中，前三项是2次的，第四、第五项是1次的，最后一项是常数项 象这样，一个含有两个未知数，并且各项中含未知数项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.例如，上面的方程(2)，(3)和(4)都是二元二次方程 二元二次方程的一般形式是： ax2+bay+cq2+daey+f-0, 这里，，b,c至少要有一个不是零，否则就变成二元一次方程了，a2,bcy和cy叫做二次项，dc和y做一次项，∫叫做常数项 说阴根据定义，二元二次方程是含未知数项的最高次数为2的方程，因此，它的一般形式中除了有二次项外，还应该包含有低于2次的项，即应包含一次项和常数项，所以有上面的形式 由一个二元一次方程和一个二元二次方程，或者由两个 二元二次方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组.例如，问题1中所得的方程组是第一种类型的二元二次方程组，问题2中所得的方程组就是第二种类型的二元二次方程组. 由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，它的一般形式是： ·366· ==========第374页========== mc+ny+p=0 (m,%不都是零)， ax2+by十c2+dac+则+f=0(a,6,c不都是零)由两个二元二次方程所组成的方程组，它的一般形式是：「1c2十b1心y+c1y2+d心十e1y+f1=0(a1,b1,1不都是零)，a2心2+bcy十c22+d心+B2则+f2=0(ag,bg,cg不都是零).下面我们将分别研究这两种类型的二元二次方程组的解法 习题91 1.下列各方程是几元几次方程？ (1)3x+5y=4; (2)xy=1; (3)2x2-y=7x+5; (4)9y2-2c=0; (5)5-82y2=3y; (6)3ax-xy=4y2-2y+1. x+y=7, 2.下列x和y的值是不是方程组 的解？为什么？ 0x2+y2=25 (1)x=3,y=4; (2)x=4,y=3; (3)x=2,y=5; (4)x=-3,y=-4. §92 由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组的解法 我们看下面的方程组： [3x+y=2, (1) 【2+2ac+3g2-3c+1=0. (2) 解这个方程组和解二元一次方程组一样，可以先设法消去其中一个未知数，例如，得出只含另一个未知数x的方程，从面解这个方程求得x的值；再把所求得的心的值代入方程(1)，就可以求得相应的y的值. ·367· ==========第375页========== 这里方程（①）是一个二元一次方程，所以从它可以把一个未知数（例如）用另一个未知数（例如）的代数式来表示.这样就可以用代入法来解 从(1)，得 y=2-3心. (3) 把(3)代入(2)，得 x2+2x(2-3ac)+3(2-3)2-3心+1=0.整理后，得 22x2-35x+13=0, (x-1)(22x-13)=0, '。x1=1, 22 把1=1代入(3)，得 y1=-1; 3 把2=22代入（③），得 5 y2=22· 因此，原方程组有两组解： 13 〔c1=1, 02=229 5 y1=一1； 1y2=22· 从这个例子可以看到，解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组的一般步骤是： (1)把二元一次方程里的一个未知数用另，个未知数的代数式来表示； ()担这个关系式代到二元。次方程里，得到。个。元方程； ·368• ==========第376页========== ()解这个一元方程，求得一个末知数的值； (v)把所求得的值代入第一步所得到的关系式里，求得另，个未知数的值； (V）把所求得的，个未知数的值和相应的另，个未知 数的值按组写在一起，就是原方程组的解 这种类型的二元二次方程组一般可以用代入法来解.例1.解§91中问题1的方程组： x+y=31, (1) 【x2+y2=253. (2) 【解]从(1)，得 y=31-x. (3) 把(3)代入(2)，得 x2+(81-x)3=625. 整理后，得 2x3-62c+336=0, 2-31+168=0, (c-7)(c-24)=0, 1=7,xg=24. 把1=7代入(3)，得 y1=24; 把2=24代入(3)，得 y2=7. '。原方程组的解是 =7, g=24, y1=24 [ya=7. 因为一条直角边是7尺，另一条直角边是24尺的直角三角形和一条直角边是24尺，另一条直角边是7尺的直角三角 ·369· ==========第377页========== 形，实际上是同一个直角三角形，所以就这个应用问题讲，只回答一组解 答：两条直角边分别是7尺和24尺. 例2.解方程组： 「心-3则-2=0， (1) l2-2cy-3y2+2w-3y+14=0. (2) 【解]从(1)，得 c=3则+2. (3) 把(3)代入(2)，得 (3则+2)2-2(3y+2)y-3y2+2(3y+2)-3y+14=0.整理后，得 11则+22=0， ∴.y=-2. 把y=-2代入(3)，得 优三-4。 。'。原方程组有一组解是 x=-4, ly=-2. 习题92(1) 1.由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，至多可以有几组解？为什么？ 2.在上面的例2中，如果用x的代数式来表示y,能不能解？对于这个例题来说，用哪一个未知数的代数式来表示另一个未知数，解方程组比较简便？ 3.在上面的例1中，求得1=7，x2=24后，如果把1=7代入（②），得 y2=625-49=576, 、·370● ==========第378页========== .y=士24. 把x2=24代入(2)，得 y2=625-576=49, y=士7. 这样，方程组的解是 [x=7, 「x=7, 「x=24,【G=24, y=24;(y=-24; (y=7; ly=-7. 这样的解法正确吗？解下列各方程组(4~8)： 4.(1)+y=7, +y=2, f y=10; (2)x2+2=10; (3) 「y=G+5,x-2y=1, 1x2+g2=625; (4)2-4y2-5=0. 5.(1)【x2+cy=2, ly-3x=7;(2) 7x2-6y-8=0, 2x-3y-5=0; (3)2x2-xy-3y=0, x2+=4y2, 17x-6y=4 (4)3x+6y=1. 6.(1)中则++花+5则=0，0{如w- 7.(1){r一3y--4如-8y+3=0, 2x2-5cy+y2+10c+12y=100, 12c-3y-1=0. (2) 「(c-1)(y-1)=2, 8.(1) x y石+4-1； (2) 25 2(y+3)=(3-y)(3y-x). 有些方程组，形式上看来不是这种类型的二元二次方程 ·371● ==========第379页========== 组，但是经过变形后，如果可以化成由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，那末就可以用上面的方法来解。 但是必须注意，如果解方程组时，因为变形时把方程的两边同乘以一个含有未知数的代数式（遇到分式方程时），或者把方程的两边都乘方相同的次数（遇到无理方程时），那末最后求得的解，必须代入原方程组里的每一个方程，进行检验。 例3.解方程组： 2c-5+2y-3 2 yー1 2, (1) l3-4y=1. (2) [解]方程(1)是分式方程，所以把(1)的两边都乘以(w-2)(y-1),得 (2-5)(y-1)+(c-2)(2-3)=2(aw-2)(则-1).整理后，得 2cy-3a-5gy+7=0. (3) 因此，只要解由(2)，(3)组成的方程组从(2)，得 g=}-10. (④) 把(4)代入(3)，整理后，得 6x2-29c+33=0, (x-3)(6-11)=0, 、=3,%=,6 把=3代入(4)，得 y1=2 ·372· ==========第380页========== 把一号代入（因，得 9 8 11 G=3, 6 y=2 9 ty=8 检验把这两组解代入（一2）(g一1)都不为零，所以它们都是原方程组的解例4.解方程组： 型=8 化2 (1) w+y=10 (2) 【解]方程(1)是无理方程，所以把(1)的两边平方，得 -2+g=9 4 两边都乘以4cy,整理后，得 4c2-17wy+4y2=0. (3) 解方程组 4x2-17cy+4y2=0, c+y=10, 得 fc=8, 「c=2, ly=2; y=8, 检验把a=8,g-2代入①)，左边-2-号-是左边 =右边.代入（②），左边=8+2=10，左边=右边，所以它是原方程组的解。 把四=2，y-8代入（①，左边-司-2=-是左边毕右 ◆873● ==========第381页========== 边，所以它不是原方程组的解。 因此，原方程组的解是 心=8， ly=2. 说明检验时，所求得的解不适合原方程组中的任何一个方程，就不是原方程组的解 例5.解方程组 3=2, (1) y 4 2公3十5 (2) 分析如果把两个方程分别去分母，那末方程（②）会得出xy的四次项，方程（①）是二元二次方程，这样就不会解了。因此，我们利用换元法来解. [解]设名-号-，哪末兰-叫，号=叫条方程 3 组就变形成 【U-w=2, (3) 22+2=点 (4④) 从③)，得 =u-2. (⑤) 担(5)代入(4)，整理后，得 4u2-8u+3=0. (2ulー1)(2u-3)=0, .=1 2%8 2 把做受，%受代入间，得 ·3740 ==========第382页========== 1一2 2 3 =2 2= η=ー1 2 = 就是 212 G 21 3 3 2 y 4 =4， =3 gy=-2; y=-6. 检验把心和y的值代入原方程，分母都不等于零，所以原方程组的解是 4 心=4， y=-2; y=-6. 习题92(2) 解下列各方程组(16)： 1.(1)j(-3)(y+2)=(x+4)(y-5), 122-g=y+2; {3时+3e-刘+9-0.(+3)(y-2)=xy, (2) 花-Vy=3, 2.(1) 2-3=1,x y (②) 2c+3y=-10; x+y=3 4 7心习，5 f3 2 3. (1)-1 (2)y-3 =2, 32 4 +3= ◆375◆ ==========第383页========== 3 4 +ー=3, √+1+√y-1=3, 4.(1) y (2) 311 3- y,12 2=0. ユ+1 25 =9, f 4 =200,5.(1) 29メ (2) 1 1 +、41; 25=20. x y 6.(1)「VE-Vg=1, (2) (x+2)(y-2)=y, (2xy=4; √(x+1)(y+4)=x+3. 7.飞等于什么数值时，下列方程组有相等的两组实数解？ 心{+25 双2-4x-2y+1=0, x2+y2=16, (2) x-y=k。 [提示：消去一个未知数后，使4=0] 8.已知直角三角形的面积等于504平方厘米，两条直角边的差等于47厘米.求这三角形各边的长 [提示：直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半.]9,某工人要把一根长28厘米的铁丝折成面积是48平方厘米的长方形零件.这长方形的长和宽应该是多少？ 10.甲、乙两列车从相距360公里的两城相向而行，如果乙车比甲车早出发1小时30分，那末两车恰巧在路途的中点相遇；如果同时出发，那末5小时后，两车还相距90公里.求各车的速度. §9·3由两个二元二次方程所组成的方程组的 解法（一）—一可以消去二次项的 我们看下面的方程组： =y2+1, (1) ly=c2-3. (2) 把(2)代入(1)，得 =(a2-3)2+1. ·376· ==========第384页========== 整理后，得 x4-62-c+10=0. 这是一个一元四次方程 从这个例子我们可以看到，这种形式的方程组，如果采用代入法消去一个未知数，一般会得出一个一元四次方程，这种方程的一般解法我们还没有学到，所以不能解。 但是某些特殊形式的二元二次方程组，可以化成我们会解的方程组，解变形后的方程组就可以得到原方程组的解.现在我们分别来研究比较常见的几种特殊形式.本节所讲的是第一种形式，可以消去二次项的二元二次方程组。现在举例来说明。 例1.解方程组： 2y2+心-y=3, (1) 322-2c+y=0 (2) 分析这里两个方程都是二元二次方程，但是这两个方程里都只 .含有一个二次项，因此可以用加减消元法消去这个二次项，得出一个 二元一次方程，再用代入法来解.这样，就把这种形式的二元二次方程组转化为上一节里所讲过的二元二次方程组了。 [解](1)×3-(2)×2，得 7ac-5g则=9， .=7⑤y+9). (3) 把(3)代入(1)，得 2y2+76g+9)-g-3. 整理后，得 14y2-2y-12=0, 7y2-y-6=0, ●377· ==========第385页========== (y-1)(7y+6)=0, 4-1,助=- 把y1=1代入(3)，得 01=2 6 把=一号代入3)，得 %83 49· 所以，原方程组的解是 =2, 化33 49, 6 g=1; 说明本题求出（③）后，也可以把(3)代入(2)，得 3-(+9+yー0， 整理后，还是得到 72-y-6=0 所以原方程组的解是一样的。因此，只要代入系数比较简单的一个方程，解起来可以简便例2.解方程组： 「2x2+4cy-2a-则+2=0， (1) 3x2+6cy-c+3g=0. (2) 分析这里两个方程都是二元二次方程，但是两个方程里都含有 二次项x2和y,而且这两种二次项的对应项的系数成比例，就是2：3=4:6,因此可以利用加减消元法消去和y,得出一个二元一次方程.[解(2)×2-(1)×3，得 4c+9y-6=0, g-号8-2. (3) •378◆ ==========第386页========== 把(3)代入(2)，得 3a+誓8-2）-+号68-2-0. 整理后，得 c2+5x+6=0, ..1-2,2=-3. 把1=-2和2=一3分别代入(3)，得 14 4=9,82=2. 所以，原方程组的解是 rc=-2, c=-3, -14 y=9 y=2. 从上面两个例子可以看到，如果二元二次方程组里两个方程都含有同类的二次项，而且各对应二次项的系数成比例，我们就可以利用加减消元法消去这些二次项，得出一个二元 一次方程，这样，就可以利用§92里所讲的方法来解。 习题93 解下列各方程组： (2)y-x+y=7, 2y+x-y=13; 3)3x2+5x-8y=36,2a2-3ac-4y=3. 2.( fx2-2y2-y-1=0, ){20-4y+a-6=0g 2ax2-5axy+3x-2y=10, (2)5xy-2x2+7c-8y=10. ●879· ==========第387页========== 80y 2x2+2y+4y2+x=96, (2)1x2+y+2y2-y=43. §9·4由两个二元二次方程所组成的方程组的 解法（二）一可以消去一个未知数的 如果从两个方程里消去一个未知数后，可以得到另一个朱知数的一元一次方程或者一元二次方程，解这个方程，就能求得一个未知数的值，从而求出另一个未知数的值.现在举例来说明. 例1.解方程组： 2+y2=5, (1) y2=4x. (2) 分析这里两个方程都是二元二次方程，但是两个方程里含有未知数y的项都只有项，因此可以用加减消元法消去y,而得x的一个一元二次方程。 [解1·(1)-(2)，整理后，得 c2+4c-5=0, (c-1)(x+5)=0, ∴.1=1，c2=-5。 把1=1代入(2)，得 y2=4, .则=土2。 把2=-5代入(2)，得 y2=-20, 这个方程没有实数解。 ·380● ==========第388页========== 所以原方程组的解 G=1, 龙=1， y=2; y=-2. 说明本题求得x的值以后，也可以代入()。'把x1=1代入(1)，还是得到 2=4,∴.y=±2， 把x=一5代入(1)，还是得到 y2-20, 这个方程没有实数解.所以结果是一样的，！ 例2.解方程组： fx2-15cy-8y2+2c+9y-98=0, (1) 5ry+y-3y+21=0. (2) 分析这里两个方程都是二元二次方程，而且含y的各对应项的系数成比例，就是一15：5=-3：1=9：(-3)，因此可以用加减消元法消去含y的各项，得出x的一个一元二次方程， [解1(1)+(2)×3，得 x2+2c-35=0, (c-5)(十7)=0， .1=5,x2=-7. 把=5代入(2)，得 25y+y2-3y+21=0, y+22y+21=0, (（y+1)(y+21)=0, .y1=-1,y2=-21。 把=-7代入（②），得 -35则+gy2-3y+21=0, y2-38y+21=0, ·381● ==========第389页========== .y-38±√144-84 2 -38±√1360 2 =19±2/85.， 所以原方程组的解是∫=5，∫x=6, ∫=-7, ∫0=一7， g=-1;1gy=-21:.1gy=19+2/85;1gy=19-2√85.说明求得x的值后，代入方程(1)或者（②）都可以，选择比较简单的一个方程，解起来可以简便. 从上面两个例子可以看到，如果二元二次方程组里两个方程中含某一个未知数的各对应项的系数成比例，我们就可以消去这个方程组里的一个未知数，得出另一个未知数的一元方程，求出这个未知数的值，再把所求得的值代入原方程组里的一个方程，就可以得出另一个未知数的对应的值。 习题94 解下列各方程组： - 1. (2)「x2+y+x+y=6, 1x2-y2-x-y=2; 」2+2+x+y=18, (3{2-y+-y=65 (4) +号-2 y2-x2=5. jx+y-y2=5, 2.④{2-w+y=79 (2)x2+xy-3y2=3, t2x2-2xy+6gy2=10; (3)j9y2-4x2=32, 9(y-1)2-x2=8. 「x-3.y+y2+2x-3y+2=0, 3.(){2+3y-9+2x+3y-2=0; ·362· ==========第390页========== x2-3y+22+4x+3y-1=0, ②2x2-6cy+y2+8x+2y-3=0. §95由两个二元二次方程所组成的方程组的解法（三）一一个（或者两个）方程 可以分解成两个一次方程的 如果二元二次方程组里的一个（或者两个）方程可以分解成两个一次方程，我们就可以把原方程组变成至少含有一个 二元一次方程所组成的方程组来解。现在举例来说明，例1.解方程组： 2-5acy+6y2=0, f () 2+gy+6-11y-2=0. (2) 分析这里两个方程都是二元二次方程，·它们的二次项对应的系数，或者含有x的对应项的系数，或者含有y的对应项的系数都不成比例.但是仔细观察一下，可以看出，方程（①）的左边可以分解成两个一次因式，而右边等于零，.因此这个方程可以化成两个二元一次方程，从而原方程组可以化成两个由一个二元一次方程和一个二元二恣方程所组成的方程组. [解1从(1)， (c-2y）(c-3y）)=0.∴.x-2则=0， (3) 花-3g=0. (4) 由（②）和(3)，(2)和(4)分别组成方程组，那末原方程组可以化成两个方程组，就是 x-2y=0, (I)x2+y2+c-11y-2=0. ·383◆ ==========第391页========== (II)fx-3y=0, しx2+y+c-11g-2=0. 分别解方程组()和()，得原方程组的解是 =3, 化=4， =- 6 5 则=1 ly=2 공 例2.解方程组： c2+2ay+y2=9, (1) (c-)3-3(c-y）+2=0. (2) 分析观蔡后可以看出，方程(1)的两边都是完全平方，因此可以分解成两个一次方程，方程()也可以分解成两个一次方程，因此，原方程组可以化成四个二元一次方程组。 解]从(1)，(c+y)2=9, .x十则=3， (3) 花十y=一3。 (④) 从(2)， (c-y-2)(c-g则-1)=0， .心-y-2=0, (6) 龙-y-1=0, (6) 由(3)，（④）和(6)，(6)，原方程组可以化成四个二元一次方程组，就是 (I)十y=3, (I) x十y=3, lc-y-2=0 Lx-y-1=0 (III) 十y=-3,w-y-2=0 (V) c十y=-3,1m一g-1=0. 分别解这四个方程组，得原方程组的解是 ●384· ==========第392页========== 5 2 「=2， =一 1 公=一1， 1 y=1 5 y-= y=-2 从上面两个例子可以看到，如果二元二次方程组里的一个（或者两个）方程可以分解成两个一次方程，那末就可以把原方程组化成两个由一个二元一次方程和一个二元二次方程(或若四个由两个二元一次方程)所组成的方程组来解。具体地说，如果原方程组里的方程(1)（或方程（②）)可以分解成两个一次方程(3)和(4)，而方程（②）（或方程(1）)不能分解，那末把原方程组化成两个方程组： ( (3), (2)； () (4), (2). 如果方程(1)可以分解成方程(3)和(4)，方程（②）也可以分解成（⑤）和(6)，那末把原方程组化成四个方程组： (3), (3), (⑤) (I) (6)； ()(4), (V) (4), (⑤)； (6). 习题95 解下列各方程组： 1.(1)∫2=3， (2)「2x2=25, y=32; (y-)(y十x)=0, 2.(1)r2+g2=5, (2)x2-4ry+3y=0, 12ax2-3y-2y2=0; 2+2y2=10; x2+2=25, (4)6x2-5xy+y=0, (3)(x+y)2=49; c2+y+y2=7. ·385● ==========第393页========== の- (2)j-x2-5=0, l4x+4xy+y2+4x+2y=3. 4(四{26=+9-0 (2-y+1)(3x+y-4)=0; { 2② (3)4x2-9y2=0, 14ax2+12xy+9y=1; x2+2xy++x+y-2=0, {2-2y+y-n+y-2-0 (④ §96由两个二元二次方程所组成的方程组的解法（四）—一两个方程都没有一次项的 如果两个方程里都没有一次项，那末可以先消去常数项，再用上一节的方法来解。因此，这种解法也叫做消去常数项法.现在举例来说明.例1.解方程组： 3ax2-gy=8, (1) c2+y+2=4, (2) 分析这里两个方程有共同的特点，就是都没有未知数的一次项，因此消去常数项后，可以得到一个只有未知数的二次项的二元二次方程，象aax2+bcy+cgy=0形式的方程，如果b2一4ac≥0，这个方程就可以分解成两个一次方程 [解1(1)-(2)×2，得 x2-2-3g2=0, (c十y)(x-3y)=0, ◆386· ==========第394页========== 。心十y=0, (3) c-3则=0. (4) 由(1)和(3)，(4)，原方程组可以化成两个方程组，就是(四3ax-y2=8, 3ax2-y=8, (I) (x十y=0 x-3则=0. 分别解这两个方程组，得原方程组的解是 c=2, G=-2, = 6/18, 1 613, 1 y=2;【y=-2 2 2 y=ー1313. 例2.解方程组： c2-2cy+3y2=9, (1) 14c2-5acy+6y2=30. (2) 【】消去常数项 (1)×10, 10ax2-20y+30gy2=90. (3) (2)×3, 12c2-16y+18gy2=90. (4) (4)-(), 2x2+5xy-12y2=0, (c+4y)(2-3y）=0, ,.x+4y=0, (5) 2x-3y=0. (6) 由(1)和(5)，(6)，原方程组可以化成两个方程组，就是 x-2y+3gy2=9, x2-2ay+y2=9,(①){0+4划=0， (I) 2x-则=0. 分别解这两个方程组，得原方程组的解是 =-~3， y-v33 ●387+ ==========第395页========== ∫优=3， c=-3, y=2 ys-2, 说明消去常数项，分解成两个二元一次方程，每个方程可以和原方程组里的任何一个方程组成方程组来解，选择系数比较小的，解起来可以简便 从上面两个例子可以看到，如果二元二次方程组里的两个方程都不含一次项，那末可以消去这两个方程里的常数项，得出象ax2+b十cy2=0形式的二元二次方程，如果b-4ac≥0，这个方程就可以分解成两个一次方程，再用§95里的方法来解 习题96 解下列各方程组： 1.()x2+2y2=18, x2+xy=15, lx2+2c2=24; (2)y2-13.xy-14=0; x2+y2=5, x2+xy+4y2=6, (3) (4) (c=2; 3x2+8y2=14. 2.(1)íx2-2acy-y2=2, cy+2=12, l ay+y2=4; (2)lc2+xy=24; (3)x2+2xy+y2=19, xy=6, x2-xy+22=4, 2+2ay+y2=25, 3.(1){2-3xy-2y2=6 (2) 9.x2-12xy+4y2=9; {+-ッ+ー8 (3lx2-xy+y2=14. §9·7由两个二元二次方程所组成的方程组的解法（五）—一可以用除法降低方程的次数的如果两个方程的左边有公因式，而右边是不等于零的常 ●388● ==========第396页========== 数，我们可以把两个方程的两边分别相除，而得出一个次数较低的方程，再用前面学过的方法来解。现在举例来说明。例1.解方程组： fx2-y2=3, (1) c2-4cy+3y2=-1. (2) 分析这里两个方程都是二元二次方程，它们的左边都能分解因式，但是右边既不是零，又不是完全平方，因此不能够把它们分解成两个一次方程。观察一下可以知道，方程()的左边可以分解成 (x+y)(x一y), 方程(2)的左边可以分解成(x一y)(x-3y),它们有公因式x一y,并且它们的右边都是不等于零的常数，因此把两个方程的两边分别相除，可以得出一个次数降低的方程，就是一次方程。 解]方程(1)可以改写成 (c+y)(-y)=3。 (3) 方程(2)可以改写成 (c-3y)(-y)=一1. (4) (3)÷(④)，得 w十型=一3。 心-3y 整理后，得 心=2则. (⑤) 解方程组： 「c2-y2=3, la=2y, 得 x=2, 心=-2， y=1; y=-1 所以原方程组的解是 0889● ==========第397页========== 7x=2, x=-2, (y=1; ly=-1. 说明得出次数降低的方程之后，可以和原方程组中的任一个方程组成方程组来解，选择比较简单的方程，解起来可以简便 有些二元的高次方程组，也可以用例1的方法来解。例2.解方程组： x3-gy3=218, (1) x2+cy+y2=100. (2) 分析方程（①）的左边可以分解因式，得 3-y3=(x-y)(2+xy+y2), 并且两个方程的右边都是不等于零的常数，因此可以用除法得到次数降低的方程。 [解]方程(1)可以改写成 (-y)(x2+cy+y)=218. (3) (3)÷(2),得 心-y=2. (4) 解方程组： ∫2+y+y=10C9, (x-y=2, 得 「x=7, 龙*-5， y=5; (y=-7. 所以原方程的解是 「心=7， ∫=-5， ly=5; (y=-7. 从上面两个例子可以看到，如果二元二次方程组（或者二元高次方程组)里的两个方程的左边有公因式，并且右边是不等于零的常数，我们就可以用除法，得出一个降低次数的方程，从而有可能利用学过的方法来解。，·390● ==========第398页========== 习题97 解下列各方程组： 1,(1) 2-”2=8 í3+3=9， (2) g-y=2; x十g=3. 2,()jx2-42=-11, x3+y3=65,1x-2y=11; (2) (x+y=5; ーy8=117, {++0. (3) 1x+y=98, 3, (1)+-23 (2) 是+ しVs+y=2 【提示：利用换元法解] 本章提要 1.由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组的解法一般可以用代入法来解 2,由两个二元二次方程所组成的方程组的解法这种方程组只有某些特殊形式的方程组可以解，比较常见的有下列几种： (1)可以消去二次项的； (2)可以消去一个未知数的； (3)至少有一个方程可以分解成一次方程的； (4)两个方程都没有一次项的； (5)可以用除法降低方程的次数的， 复习题九 解下列各方程组(1~12)： 1.w{*- ·391· ==========第399页========== (x-1 9 2+g-22-1, (2)-=1. 3⊙ 1 3=1,2.(1) 풀+품-5， (2) 2+55 7 1 【x+y=6 =12, 1+1=80, Vx+I+√y-I=5, 3. (1)xy 1 (2) 1 ー十- 5=12; x+y=13. f32-1=2, a3 63=5,4. (1)(2) +、 5x2+3=120 y2 ab=2。 6.(aの{(G+(a-)=(a+)(8+) 1(x+)(x-y)=(x一y)(7-)； @{82-3cte(y-3)2=4(c-1), 80区 (2)x2-y2+8-y=6, 1x2+y2-2c+y=9; m{g-6a时+22x2-gy2+x-y=6, 2--g=6, (4)x+2xy+y2=25. 7.(1)í(x-1)(y+2)=0, 4x2-y2+2y-1=0,1(c+1)(y-2)=0; (2) 1x2-y2-c-y=0. 8.(任含 (2)x2+2-8=0, (c+1)2=(y-1)2. 9.(1)「x2+2axy+22+3c=0, 1xy+y2+3y+1=0; (2)x2+2y2=13, ly+y-x=-1;(3) 2x2+cy+5y=0, し2+2+10y=0. ·892◆ ==========第400页========== 10.(1)+r9+y-2-2到=”a品 の{) +兰-9， 11. (2) y0 しx+y=6 x2+y2+2=30, xy=2, 12.(1){y-x=3, (2) y2=6, yー8=4； x2=3. 13.(1)m是什么数值时，下面的方程组有两组相同的解？ x2+22-6=0,l y=mx+3; (2)m是什么数值时，上面的方程没有实数解？ 14.已知方程x2+mc十n=0的两根的积比两根的和大5，并且两根的平方和等于25，求m,n的值. 15.矩形的面积是120平方厘米，对角线的长是17厘米，求矩形的长和宽， 16,直角三角形的周长等于48厘米，它的面积等于96平方厘米求直角三角形各边的长. 17.两部大小不同的起重机同时工作，6小时就把船上的货物全部卸完。如果由它们单独工作，那末大的一部机器比小的一部可以少用5小时卸完。两部机器单独工作各需多少时间才能把船上的货物卸完？ 18。甲、乙两地间道路的一部分是上坡路，其余的部分是下坡路.自行车在一小时内，下坡比上坡多走6公里。已知这自行车从甲地到乙地需要2小时40分钟，而从乙地回到甲地，可以少用20分钟。如果全路长6公里，求自行车上坡和下坡的速度以及上坡路和下坡路的长。， 0893· ==========第401页========== 总复习题 1.(1)x是什么值的时候，代数式4x-5的值等于一9？等于02 (2)x=-3是不是方程3x+4=-3.5+0.5x的根？0.3是不是方 程(3-1)(-)-的根？ (3)方程2x-1=0的根是不是方程(2x-1)(2x+1)=0的根？反过来，方程(2c一1)(2c+1)=0的根是不是都是方程2x一1=0的根？ 2.判别下列各题中的两个方程是不是同解方程？并且指出每一个方程的解： (12-1=3x+4和5(2x-1)=3(3x+4； 3 5 (2)父+52 x+3=0十3和x+5=2; 9=异5和3+5)=2(-21 (3)3=91 (43-1-3和3x=9. 3.解下列各方程： 2-8-2r+3+7后； (1) 3 5 4 @m3a+13a-1)-8e-号}-c, 、(3)(2x-3)(x+5)+(3x-2)(2x-4)=(2x+3)(4x-7); (4)(x-2)3+(2-1)(4x2+2x+1)=x(3x-1)-42; 心3+x (5)ー 克-4=3- 2 4,解下列各方程： (1) 3 2 .5 4r2+20z+25+4-4x+1=402+88-5 ●394● ==========第402页========== (2)65011 2x 5 (3)-+1-8-1=20; +1然-1 4)·3 2x+5 1 心”8+2+4w+8=x一25,解下列关于x的方程，并且加以讨论： )m3u.g十2bt-十m5z十3c2-=0; x-a x-2c (2)-(x-a)2 (x-b)2 (x-c)2 -(-e)+て-（a）+(aの（b5-3 6.(1)当ab>0时，a和b要适合怎样的条件？当ab<0时，a和b要适合怎样的条件？当ab=0时，a和b要适合怎样的条件？(②)如果a>b,能不能说号>1？为什么？ (3)如果a>b,能不能说a2>b2?为什么？ 7.&是哪监数时，代数式203-+1的值： 5 3 ④大于告+05的恤？因小于告+5的值？3 2 2 (②》等于+3卢的值22 8.x是怎样的数，能使： (1)5。是正数？ 必-5 (2)c-5是负数？ 5g设有家义 (3) (4)芳是止数 () 2是负数？ (6)心-5 -5等于0？ 9.解下列各不等式： 으<。1 (1 .6 5 (2)2(c+1)81-12(x-2)2； (4)√3x-V5x>V3+V5; (5)√2x≤/②； ●335◆. ==========第403页========== (6)13x-11>2; (7)I3x-1<2. 10.方程组3x-y=1 a+5y=3的解是不是方程x+5y=3的解？反过来， 3-y=1 方程x+5y=3的解是不是一定是方程组+5y=3的解？举例说明。 11.解下列各方程组： í2(2x+3y)=3(2c-3y)+10, (1)14-3y=4(6y-2x)+3; (2)「(x+2)(y+1)=(x-5)(y-1),x(4+)=-y(8-x); 「$-型-女+2则-5✉-3-9+2脑-5 (3)4 ·6 4 6 L5x-2y+6=0 x+2y-32=3, (4){3x-5y+7=19, 5x-8y-11z=-13. 12.解下列各方程组： 3x+2y-8+4u=1, 4x+3y+28+u=7, (1)x+4划-3z+2u=5, 2xーy-4a+3u=1; 6x-4=2 (2) y3’ 4_5_3=-5 L x y6· 13.解下列关于x,y,2的方程组： 5a+265 (1)2x-By'y+xa+12b, {g* 8z=6b-是4 「cx+by= (2) by+az=m, az十c=n、 ·396· ==========第404页========== 14.已知g“+是一个恒等式，宋A和B的7x+10 值. 15,(1)一个正数的平方根和它的算术平方根有什么区别？举两个例子来说明； (2)计算：√4a-12ab+9b2(2a<3b); (3)计算√好ッ+(yッ>25) (4)计算并且讨论：√4x一-20+25. 16,利用平方根表或者立方根表计算下列各题： (1)√11.5047； (2)√0.07875； (3)&6043; (4)/0.04581. 17.(1)一个数的平方一定大于原来这个数吗？举例说明(②)一个正数的算术平方根一定小于原来这个数吗？举例说明： (3)两个数的绝对值相等，这两个数一定相等吗？举例说明；(④)第一个数的绝对值大于第二个数的绝对值，第一个数一定大于第二个数吗？并且加以讨论 18,按照近似数的计算法则，计算下列各式（下列各数都是近似数)： (1)284.3×1.51-64.03÷2.2; (2)(1.3)°÷(5.4)2+(0.03)3； (3)√65.7÷3.45-1.081， 19.已知大圆的半径R≈14.7厘米，小圆的半径？≈14.1厘米， 计算圆环的面积. 20.求下列各式中：允许取的数值范围： (1)V5-3; (2)V-3x-5; 1 (3)V5-35 (4)V3x-5; 1 (5)/3x+5i (6)V-3:-5 21.计算： ·397· ==========第405页========== (1)√25+x2+y2-10x-102+2y(x+y>5)； (2)/a8-3a462+3a264-b6. 2 0)成次등+如 ②)化成同类根式：√a功T和"“√a”。n+1/02n+9 23.化简下列各式： (1)√92-9yア+√（エ+y）-2√4x2-4y"-5√(-y) (c>y); 阅va+高+v@- -류+등(a>b);（V丽+√臣+a)(√：+v丽-a） 1 (4) zV3+2 √s-72 1 24.把分母有理化： (1)√4+a2-2, ②)Y0+V石+√3 √4+2+2 V3+V10-V5; (3)y9ーマ3+1・ 25.化简下列各题： (1)a+b-1a-b-1 (2)(y）3-wy多 a+oa-6 ((V.a）}, (4)W/g8g÷2√mym-6gn才 26.求下列各关于心的方程里字母m的数值范图围： (1)方程3x2+5c一m=0有两个不相等的实数根； ◆398● ==========第406页========== (2)方程(m+1)x2-3x+5=0有两个不相等的实数根；有两个实数根； (3)方程(m+1)x2-(2m+3)x+(m+3)=0有两个不相等的实数根；有两个实数根； (4)方程3x+mc+2=0没有实数根. 27.解下列各方程： (1) x+3 2x+1 17x+74(3a2+5x-②+3(3x+11x4-6(x+6x+8 (2)22+3xx2-5 x2-5-x4+3x (3)(x2-8)2+4x2-37=0; (4)(x+1)(x+3)(x-4)(x-7)+(x-1)(x-3)(x+4)(x+7) =96. 28.解下列各方程： (1)W5x-6x+I-V5x2+9x-2=5x-1; (2)1 1 +√i++x-Vi++2=0; 2 (3)Vー√ーVi-7=Vr+vi-i (4)/元+2-元=2， 29.(1)已知方程2x2+(m+1)龙+2(m+3)=0的两个根的平方的和等于8，求m的值； (2)已知方程(k+1)x2-4c+(+6)=0的两个根相等，求k的值；(3)已知方程-2x+m=0的两个根的差等于哥，求m的值 30.(1)证明方程2mx2+2(m+n)x+n=0有两个不相等的实数根，这里m,%都是不等于零的实数； (②)证明方程mc2+x一m=0有两个实数根，其中一个根是另一个根的负倒数. 31.解下列各方程组： ◆398，● ==========第407页========== 「北+y= 。+2则+2g=3, x+2 xy 6￥ ) 5·7 ya 3 =一2’ (2) +名 2 y十名 8-3玩3 2(名+然)+x2=0; 4 2=-1； 之-3xx+2y [提示：(1)、(2)两题用换元法做.]()「x2-xy+222+y=0, (x+y)(x-2y)=-5, し(x-2y)(+y-3)=0; (4) (x-y)(x+2y)=7. 32.解下列各方程组： (1)x2+xy=77, (2)∫x+2=104, xy+y2=44; 【x+y=24; (3)rx2-xy+g2=19(x+y), (4)xy+x+y+19=0, ly=-6; cy+xy2+20=0; 「x2-3c2+2y2=6c, (5)12-g2=-5y. [提示：第(3)题，把第1方程分解因式；第(4)题，利用x+y和xy按换元法做；第(5)题，把两式相除.] 33.一个生产队计划在几天内开荒地120亩，实际上每天比原计划多开2亩，因此提前5天完成.每天实际开多少亩？共几天完成？ 4.一个工厂接受一批任务，需要在规定日期内完成.如果由第 一车间单独做，正好能够如期完成任务.如果由第二车间单独做，就要超过规定日期3天.现在由两个车间合做2天后，剩下的任务由第二车间单独去做，正好在规定日期完成.规定日期是几天？ 35.三个连续正奇数的两两相乘的积的和是503，求这三个数. 36.三个连续正整数的倒数的和是它们的倒数的积的74倍，求这 三个数. 37.一个三位数，它的十位上的数比个位上的数大3，百位上的数等于个位上的数的平方，这个数比它的个位上的数与十位上的数的积的25倍大202.求这个三位数. 38.在一个容积是25升的容器里盛满酒精，从这个容器里倒出几升纯酒精后，把水加满容器；然后再倒出同样多的溶液来，再把水加满容 ●400 ==========第408页========== 器，这时容器里纯酒精只剩16升。求每次倒出溶液的升数 39,甲、乙、丙三台抽水机共同打水灌溉。如果甲单独打水比三台 一起打水要多用6小时，乙单独打水比三台一起打水要多用30小时，丙单独打水所需要的小时数等于三台一起打水所需要的小时数的3倍。 三台抽水机一起打水需要几小时？ 40.一个水池有一个进水管，一个出水管。如果两个水管同时开放，需要30小时装满水池.如果两个水管改用较粗的水管，使出水管流空水池比以前快2小时，使进水管注满水池也比以前快2小时，那末两个水管同时开放，只需要12小时就可以装满水池。求原来进水管注满水池和出水管流空水池各需要的时数， ●401m ==========第409页========== 习题答案 第一章 习题1.13.(1)、(4)、(5)、(6)、(7)、(11)、(13)、(15)都是； (2)、(3)、(8)、(9)、(10)、(12)、(14)、(16)都不是. 习题121.(1)x-6=3,(2)4x+5=13,(3)2x+7=5x-8,(④-5=-4，（⑤y-是=12，(@）青+号x=2,2 (7)5(x-2)=15,(8)(+3)=10x+6.习题132.(1)是，(2)不是，(3)不是，(4)不是； 3.(3)与(6)是同解方程；4.(1)是，(2)不是，(3)不是； 5.(1)5是方程的根，4不是方程的根；(2)是. 习题14(1)2.(1)x=17,(2)=1.5,(3)x=5,(4)y=2, (⑤)x=1,(6)a=0,(0=-8,(8)=5,(9)=后5 (a0)g=品，(1)e=7,12)7.习题14(2)2.(1)是，(2)是，(3)不是，(4)不是； 3.(1)x=-15,(2)=0.7,8)8=-1号，(4)x=-10, 网1经，(@=-8,(7)x=-1, 8=-4 (9)x=3 8’ (10)x=0. 习题15(1)1.是；2.不是；3.是；4.不是；5.是；6.不是； 7.是；8.不是. 习题1-6(2)1.2；2.13.2；4.-35、-；6.号；7.1 8.号：9.-是；10.-11.112.-17)13.214.10； 0402· ==========第410页========== 15.5；16.1.11;17.15；18.-119.-320.-7 21.6;2.6喝23.3224.9. 习题16(8)1.1；2.5；36；4.2；5.-1 956.128 7 7是；8.649.9910.01. 习题1-6)1.10,2.1易；3.5.3是；5.是6:7.-8용：8。-4。 习16(6)1。(2)c=명，(8)d-9:2.;3.+2; 4.-0;5.m;6.=b;7.n-3; m258.a+;9.a+503(b+c) 10.1；11.0;12.(1)t=9。o,(2)s=%, )则需；18，四g总，(2)y=-a+cb (3)u=2s-a42 26，.(4)a=2s-2t. t8;14.a2 a-1;15.; 16,ab;17.1;18.3;19.n;20.如果n≠m,x=mn 2-m 如果n=m=0,无数多个解；如果n=m+0,无解.习题1-81.18；.5；3.9g4.5号：5.1：6.3 7.62台；8.50米；9.4天；10.2.5分钟；11.7天. 习题1-62)1.4.05公里；名.147碧公里；3.10公里； 4.无解；5.无解；6.无解；7.6天；8.120万元；9.300； 10.号；11.14유公里 习题16(3)1.6,4；2.甲种8本，乙种12本； 3.数学教具48件，物理教具96件；4.(1)大凳4张，小凳12张， (2)无解；5.长江5800公里，黄河4845公里； ●.403p ==========第411页========== 6.桃树19棵，李树6棵；7,25厘米，15厘米； 8.煤油7公斤，桶1公斤；9.15根，10根； 10.6吨船4只，7.5吨船2只；11.20亩，103斤； 12.77个，8小时；13.8.4；14.240立方米，200立方米； 15.甲池18吨，乙池12吨；16.10升；17.12米习题16(4)1.甲12.5公里，乙10公里；2.(1)10秒， (2)13秒；3.号公旦/分，号公里/分；4.15分钟； 5.3小时，39公里；6.甲15个，乙20个. 习题16(5)1.450公斤；2.4550克；3.207.5斤； 4.6号克；5.12人6.第一种60克，第二种180克 7.甲种60%，乙种40%；8.金380克，银150克. 习题16(6)1.2公里/时；2.120；3.84；4.726；·5.18；6,32平方厘米；7.28厘米，17厘米；8.84平方厘米； 9.36亩；10.6亩，10亩；11.450公斤，1050公斤，1500公斤. 习题11.1骨；2.鲁；3.5；4。-35.5；6.10 7.-4;8.2;9.1;10.1. 习题172)1.无解；2.无解；3.无解；41；5.-1; 6.-3)7.-；8.8;9.名；10.211.12 12.④-云(2)8. 习题173)1.朗2.%”；3.受}4.2a;5.a+b1 6.t-b a-ct。 习题181.72个；2.2号天，3信；8.37公里/时，6品小时： 4.10公里/时；5.小汽车60公里/时，公共汽车20公里/时： 6.用50个，乙150个；7.甲12天，乙6天；8.6天； 9.甲种1.5元，乙种1.0元；10.10天。 ·404● ==========第412页========== 复习题一 4.、四都是；5.山2哈②)7， 67 (4)1, 间24,6.是2经（号，国言3 7.无解，2)4，(3)-1日，（④）8；8.(2)§ ⑧9.四告”，@路 10.(1)如果a十b≠0，x=b;a+b=0,无数多解， (2)如果m≠%，心=《m+n)》2；n ;m=%,无解；11.13,15,17； 12.岸菜1200公斤，甜菜240公斤，白菜360公斤； 13.第一车间170人，第二车间250人；14.120公顷；15.15公斤； 18.121平方厘米，64平方厘米；17。甲4公里/时，乙3号公里/时： 18.甲30小时，乙5小时；19.告-言-号； 20、普通方法20小时，快速方法10小时。 第二章 习题2.11.(1)5>3，(2)-5<-3，(3)5>-3， (4)-5<3,(5)5이>기31，(6)->ー3이1，(7)-51>3， (8)-5<1-31,(9)x+7>x+2,(10)2a-5>24-9,(11)2c-3<2x+1,(12)3a-2<3a+11; 3.(1)、(2)、(3)、(5)、(8)都是绝对不等式，(4)、(6)、(7)都是条件不等式；4.(1)c>5,(2)G<5,(3)E<-7,(4)x>-7(⑤)任何数，(6)除一3之外的任何数. 习题2.22.(1)16>6，(2)-16<-6，(3)-25<10， (4)25>-10,(⑤-2>-4，(6)2<4，(7)-a>-b, (8)-3m<-3m; 8.(1)8>6,(2)-8<-6,(3)4>3,(4)-2<3, 0405● ==========第413页========== (5)5>2,(6)a>b; 4.(1)a+5>b+5,(2)a-b>0,(3)-7a<-7b, 2b. (웅，(6<동(6)-a<-习您231)1.>52.<-1；8，<2号4.<2； 5.>0;6.<;7>-4号8.>-2；9.<-3 10.y>15. 习题2-82)1.(z<-6品，2)2>是，(3)绝对不等式， (4)绝对不等式，(5)x<3,(6)无解； 2.(1)x≥1，(2)x≥2；3.(1)a>0,(2)a<0; 4.(>-,②<；5.四e>-12,②)> 6.<70；7.g<-10;8.<99.21010.≥80. 复习题二 3.(1)不-一定，(2)一定；5.（①）>36(2)x<2 4 (3)품()a>-7,()<1,(0)<10 6.④g≤28x1鼎： 7.(1)x>6,(2)x<6,(3)x=6; 9.(2)(i)x>4,x<-4,(ii)x>4,x<-6,(iii)>2,x<-1; 10.②))-5<<5，（的-音<<，(ii)17（蛋少8） 第三章 习题3.11.(1)、(4)、（⑤）、(6)都是，（②）、(3)都不是； ·406· ==========第414页========== 4.(1)x=0,y=-4;y=0,x=3. 习题322.(1)没有解，(2)无数组解。习题3.31.(1)是，(2)是； 3 沈—2， 4’2 「=6， lg=6; 3.3 15.ly=2 4化， y=4; 1 x=-2, 6. 8. 9. y=-3 y=3; U= ≈31 )=71 2 10. y=1, r=2， w≈4311. 12. 13. 【2=2; t (t=7 化=2 习题341. 1 ty= a. ly=10; 4 2 3 5.c=0, 1g=5; 6, 7.x=2, 8.「x=35, y=3 (y=5; y=29; 10.=5, y=7; u12. =2; 13.=7, 14.fm=-1.24, ln=3.16;15. 〔x=8, =3, ly=2;16. (y=1, 1 (5 (a+b),习题851. 1x=b, 8. 3.x=0,ly-aja-b) ly=b; 「=a-nb にsに に 4. a-mb m一n ·407· ==========第415页========== 8.化=a, ly=-6. 习题861.一组解；2.无数多组解；3.无解； 4.无数多组解. x=2, fx=3, c=12, x=4, 习题38 y=3,2.y=1, 3·{y=15, 4.y=6, l2=5; 2=-2; a=18; 2=8, 〔c=一41， x=3, 花=12， r=-5, 习题391.{y=5, 2.y=5,3.{y=6, 4.y=0, 8=14; a=7; 2=4; =4 〔花=12， x-7, 优=1， 5.y=15,6.{y=10,7.刊=2， 2=18; a=5; 8=3, u=5, 习题8.10(1) 2.{g-39.{w=-9「=4， 4.∫=4， 5.x=9,ly=-5; ly=10. 习题3.10(2)1.x=2,=-3,1y=3;2.而 3. y=4; ly=6; 花= x=4, 4. 3 2 7.y=3, y=-1 g=-6} 化= 8.g=-1,9.=3a+6,10. y=- 1 3 6 +408· ==========第416页========== ra=a+8 12 =3a+o) 11.ly=a-8.12. 12 y=2(13b+6). 习题3.11(1)1.6,9；2.8.5,10.2； 3。大车1号吨，卡车4号吨；4.A点96公斤，B点84公斤； 5.第一车间170人，第二车间250人；6.甲种360吨，乙种160吨； 7.甲广24架，乙厂16架；8.甲班75担，乙班102担； 9.216平方厘米；10，去15公里，回18公里； 11.80%的音公斤，15%的3号公斤. 习题311(2)1.253；2.33,14,4；3,平路30公里，上坡42公里，下坡70公里； 4.甲种13号无，乙种8天，丙种6号天； 5.加工机轴的是40人；加工轴承的是50人；6,甲种1两，乙种11两，丙种15两； 7.甲种3公斤，乙种8公斤，丙种15公斤，数1529克； 8.a=2,b=-3,c=1. 习题311(8)1.第一只2小时，第二只4小时； 2.静水21公里/时，水流3公里/时；3.甲20天，乙30天； 4.甲2小时，乙3小时，丙6小时； 5.甲45天，乙36天，丙60天 复习题三 111-8-64 、 26 y=13 26 a2+b2+2(a+b) 6. 2 a+b a2+b2 +b’ ·09。 ==========第417页========== ab(2) 2=a+6, ly=a-6, (8)x=9=a+6-ab 1 rx=1, 5’ c=2, rx=1, 8.y=2,9、 110.y=1, 11.y=-2, z=3; y=2’ a=3; 名=3； z=1; 1 三 (7a+4h+5c), x=m, 14 12.(1)y=2m, (2)y=2s(-7a+b-4c), 1 z=3n, 名= 8(7a+b+10c; 13.产值2000万元，支出1500万元；14.9公里； 15.甲仓45吨，乙仓50吨；16.甲12公里/时，乙30公里/时； 17.甲种60%，乙种40%；18，静水18公里/时，水流2公里/时； 19.3c-4y;20.2x2-3c+5. 第四章 习题419.8，-8；10.8，-8. 习题431.(1)、(2)、(3)、(5)、(6)、(8)、(9)都有意义，(4)、(7)、(10)都没有意义。 习题441.(1)4，(2)-4，(3)9，.（④）是⑤0.6， (6)1,(7)1,(8)0,(9)-1; 2.(1)2.54,(22.54,(3)2,(④，（⑤）13，(6)21， (7)5,(8)7-a,(9)^a-7,(10)m-2,(11)n-m.习题4.519；2.20；3.16；4.60；5.100；6、÷ 7.；8.路；9.110.4经 习题46(1)1.26；2.39；3.43；4.47；5.58；6.61； 7.86;8.98;9.253;10.506;11.707;12.8004. ·410· ==========第418页========== 习题46(2)1.0.59；2.0.87；3.0.37；4.0.78； 5.0.031;6.0.049;7.0.057;8.7.53；9.4.08; 10.23.51, 习题471.3.87；2.9.76；3.2.36；4.6.07；5.12.53： 6.0.19;7.43.2;8.1.904. 习题48(1)1.1.661；2.2.427；3.2.927；4.1.039； 5.4.347;6.6.116;7.6.708;8.7.106；9.1.444; 10.2.941;11.4.193;12.6.486;13、8.165;14.9.496.习题48(2)1.18.59；2.23.17；3.28.12)4.30.29； 6.69.66;6.49.07;7.89.80;8.272.2;9.0.2078; 10.0.2731;11.0.05309;12.0.7619;13.0.8651; 14.0.02589. 习题491.2.057；2.3.271；3.9.655；4.14.01； 5.41.09;6.0.1690;7.-4.121;8.-9.053;9,-0.3476;10.-0.4311. 复习题四 1.(1)、(3)正确，(2)、(4)不正确； 2.吾（②）吾()1，（④3m-2m; 3.4-1,(②)m-1;4.()>1号，（②）<-2，>2， (3)x>0,(4)x≤0，x>1; 5.(1)x<5,(2)x=0,(3)G+0的一切数，(4)x=1,<0; 6.(1)1.887,1.888,(2)0.611,0.612: 7.(1)4.179,(2)0.6602,(3)16.34,(4)0.3040; 8.1.32米；9.器；10.7.98厘米；1.4.92里米：34, 12.6.3倍。 第五章 习题5.13.(2)2.2,2.3,2.23,2.24,2.236,2.237,2.2360,2.2361； ·411· ==========第419页========== 4.(1)1.65,(2)4.705. 习题5.22，(2)0.13762…>0.13563…，(3)5.368971…<5.369， (4)1.5>-1.555…,(5)-2.5353.…>-2.535456…,0)v26音，（の-V <-1.781, (3）-z-23习题6.3(1)1.(1)3.142，(2)1.73，(3)0.477，(4)5500， (5)754000; 2.(1)6.48(±0.005)，(2)4.1（±0.05），(3)850（±0.5）， (4)101.3(±0.05). 习题63(2)1.2个，3个，3个，2个，2个，3个，4个，3个； 2.6.9,24,0.015,8.6,10,2.7,0.37,0.71,0.018; 3.2.08,3.02,7.06,0.669,8.04,2.97;4.3676500≤1<3677500g 5.(1)0.12%,(2)0.9%,(3)2.1%,(4)3.9%;6,测宽精确度高， 习题541.177.72；2.842.7；3.427.8；4.10.35； 5.4.4×108;6.4.7×104;7.3.81×104;8.10.50; 9.198.0米. 习题5.51.2.8；2.94.1；3.0.43；4.0.034；5.3.7； 6.16;7.28.0;8.0.0490;9.117平方厘米，47.0厘米； 10.1.90亩. 习题5.61.6.92；2.0.262；3.45.9；4.0.0779；5.0.273 6.2.38;·7.2.6; 8.(1)6.2×10平方厘米，(2)17.4平方厘米，(3)2.8厘米， (4)6.33厘米；9.6.52厘米，26.1厘米；10.6.52厘米习题571.74立方米；2.5880平方厘米； 3.9.85×103立方厘米，2.22×103平方厘米；4.1.16×10斤； 5.1.62亩；6.4.74×108个；7,740平方厘米（精确到10平方厘米）. 习题581.(1)1.02平方米，(2)1.08平方尺，(3)0.94平方米， (4)0.92平方尺； 2.(1)1.09立方厘米，(2)0.94立方米，(3)1.15立方米， ·412● ==========第420页========== (4)0.85立方尺； 3.(1)1.07,(2)1.08,(3)0.96,(4)0.91,(⑤)1.03， (6)0.96; 4.(1)0.97,(2)0.94,(3)1.05,(4)1.03。 复习题五 5.(1)a>b,(2)a0,b>0,이<|bl;a<0,b<0,lal>l如果a<0,b>0,不定； 6.5.76(±0.005)，3.09×103（±5），0.249（±0.0005）， 6.60(±0.005)，3.20（±0.005），12.4（±0.05）： 7.1.465≤AB<1.475;8.测量8米精确度高； 9.(1)51.19,(2)6.68×10,(3)62.3,(4)2.68, (5)12.17,(6)1.10; 10.21平方尺；11.4.4×102立方厘米，3.5×103克.' 第六章 习题6.11.(1)V16,(2)-√15，(3)/百，(4)√-9； 2.√3一0，停是根式√7，骨在实数范函里没有意义4 3.山>3，(2)>9，（③），y可以是-切实数，④2>号，(⑤)可以是一切实数，(6)x<0,(7)x>1, (8)≠0的一切实数； 4.(-西，②-号； 5.④21，②123，⊙)0.35，④1山，（⑤云，@- 65 6.(1)2b-5a,(2)龙-1，(3)1-，(4)a-b,(5)b-a.习题6.22。(1)s,(2)マy,(3)ア2，(4)a3,(5)3a, (6)√3，(7)√5xy,(8)4ry，(9)/2ab，(10)V3F,(11)√ab2m,(12)/ab8c,(13)V6(x+y),（14)√3(a+b ·418e ==========第421页========== (15)/4(x+,(16)√a+; 3.(1)1.414,(2)1.732. 习题6.31.(1)/125，/49，(2)2c,9, (3)Y4r,/125x,(4)99xy,932x, (5)/④m27,343mm9，(6)8,y81x2F, 02,2,2,(⑧)6,27√9 12012/25x yo s (9)&/(+),·&/(c+y),/(x+95,(10)(a-b),(a2-b)3,(a2+b); 2. () 0.-07, (②)√T>T, (8)-3<ー (4)√/5>W123>/. 习题6.42.(1)6a，(2)5xy,(3)-6,(4)-2xy,()4a*b",(6)abc3,(7)143,(8)528,(9)-504,(10)30; 3.(1)15,(2)24,(3)1.68,(4)2ab,(5)9,(6)84, (7)210,(8)1008,(9)-6axy,(10)6amb". 习题66玉.号，阅片，阅-1哈,④； 8.四量@安，2， 3c,(4)3 5a6,(⑤)-2a4 3a b ⊙，0，周+品 3.四+器，阅的 a+b,(②)0，(3)6-g a+b。 习题6.62.(1)m√2m,(2)3av3,(3)6 abVac, ④2aeoa,⑤》号yd,6by, (7)2(x+y)V2(x+,(9)(a+5)v2a,(10)(a2-b)Va+; .四压园，悟国v画，回写 (6)24abc,(7)√ab(a+b),(8)V/2(x+2y); 4.(1)6③<4√7，(2)3<2W2,(3)-3W2<-2W3. ·.4140 ==========第422页========== 习题6-72.（少D,②）合V瓦，()是V, )글a, ()-,(6)-2 3. (a) VS, (2)2,(3)는m, 금w，（の去面，（の）品a V-v (8)1 (10)2-8-: 4. (1)a-Va-3, (2)(m+n)m- a+6 1.VaPb(a+6). (4)a 习驱681.罗、而是，其余不是： 2.(1)3W⑤，(2)2√3，(3)2a/2a,(4)abV3, 间3a®，@是，们V②，号画3y 3:④)4aVa+2,(2②)2xW+3,(3)m±”m-, 2m-92 ④m+i,何品V6-,@6ya0, (7)-aWa. 习题6.91.(1)、(2)、(3)、(4)、(6)是，（⑤）不是； 2.(1)、(2)、(4)是，(3)不是. 习驱6102.@)-Wg+7V,②5，倒3Vg+8, ④0，)4明-号V,@是V2+告V; 3.(1)7√E-5/x+2/，(2)4钻/a+(5a-2b)Ve, (3)(3-b)/a25,(4)2a-Vb2-a2;4.300. .04150. ==========第423页========== 习题6.11(1)1.(1)而，(2)/5，(3)3xV2,(4)3a,(⑤)3x,(6)8xV3a,(7)5x/10c,(8)6ax/2; 3.)2,(2②)y2丽，8)昌/8，④9； 4.(1)6V30,(2)6/3,(3)a/ab五，(4)xV27x; 5.()00V1,(②)&y/2. 习题6.11(2)1.(1)5V√2-10√/3，(2)-8a2-12a8+14a4; 2.(1)2-22+2Y2,(2)2√/3x2-3/; 3.(1)2,(2)-29,(3)-123,(4)2-2x; 4四57-12v压，②2-Y,)ab 5.(1)-4+2√6，(2)-7+6√2； 7.(2)√a+√6，(3)a3+a+3,(4)m+n.习题6.121.(1)5V5,(2)-272c,(3)0.001aWa死，16 (④81aba届，（间）&xyV倒，（⑥）元； 8.a+3ya筋+3a丽+b,@)号V历+是V俪-25 3.(1)1,(2)b-a,(3)6。 习题8-1好1.15，（②）V万，(3)3a,④3Va,(⑤)4号，(6)8bx; 8.四V区，2)是y五，（③）5aV匹，（④西，2dы, (6)a, の105，(8) 4.()30,(②)x+y-3W例，(3)8-332，(4)1/a2.习题6.141.(1)/(a+,(2)√10，(3)√⑤-V3, (4)3√2+4W3; 2.Y5,网，@，国2a,3 .●416· ==========第424页========== .5V3tV厘，)6(W月-Va,33+VE, 18 (④)4-9N区； 34 4.(1)(a-b)Va+b,(2)Va+V,(3)-a-√1+a, 4)a+V-, ()2+14,V-그， b 2 6.a)y5±5y+V匝，2V+yE; 20 2 6.④E-2+1,②3-23+2V区； 3 2 7.√2-1；8.-4Vx2+. 习题6.161.(1)2，(2)/，(3)/a吗，(4)/ab; 3.(1)45,(2)ソ，(8)ン可，(4) 8.(四3，②号a;4.(8.509,②0.51.】 习题6161.Vg+1;2.V5-√2；3，√5+2 4.4-V6;5.√3+1；6.V万-1；7.(Wo+V区) 8.W而-V). 复习题六 2.(②)n是偶数，a<1; 3.(1)x>4,(2)x>2,x≤-2，(3)-21; 6.(2)(i)当x2>时，x2-y2,()当x2=y2时，0，(ii)当x20，(2)4>0，(3)4=0，(4)4<0， (⑤)4<0，(6)4=0，(T4>0,(8)4>0,(9)>0, (10)4<0;2.(1)4,(2)±12，()6，-2，(4)0，-4， ⑤-÷，(6)6，（⑦3，-17，®）-2 8.(<草，②)>-哥，)k>-品，华0： 4.(1)m<1,两不等实数根；m=1,两相等实数根；m>1,没有实数根。 (②<9，n≠2，两不等实数根；m=号，两相等实数根； ●421• ==========第429页========== %0,没有实数根 (③)m>一弓，两不等实数根；m=-子，两相等实数根； 2 2m<一号，设有实数根 (4)b≠0，两不等实数根；b=0,两相等实数根. 习题871.6,9或-5，-9，公.音，-导；3.3,4,59 4.25或36；5，：420米；6.64平方尺；7,5厘米，9厘米；840厘米，20厘米；9.离边5寸；10.1寸；1114.0厘米，9.0厘米；12.35或53,44，不可能. 习题881.山7，-2，②)0，-哥，@)-青0，(-,-,(.-고。(6)름，를 4a6 ()2V6,-2,(8)2a,2-b,(a,-1, F62,3 (10)a4+64 习题891)1.-豆②)2-V可，3)是，2 3 (④是，日： 2.(1)15x2-16c-15=0,(2)x2-1.1x+0.3=0,(3)c2+7g=0, (4)9x2-2=0,(5)x2-4V3x+11=0, (6)(a2-b2)x2-2(a2+b2)x+a2-b2=0; 3.-7,名，2)吉，是，同)毕，四3，习照8921.(-4号，②2，③)6，倒品； 2.(1)22+3y-6=0,(2)y2+5y-30=0,(3)4y2-73y+144=0, (4)32y2+5y-5=0,(5)3y2+2y-5=0,(6)52y2-29y+35=05 3.(1)士10，(2)-3，(3)-4，(4)2； 4.(1)3,-11,(2)-1。 ●422● ==========第430页========== 匀题8.103.(1)（如-4）(x+7), ②(e+7+y国e+7-=Y),⑧e-13:+5, (4)(2x+1)(3x+2),(5)(x+1)(4m-3),@(e-+y北-5@） の-4(+*)(-+-y),周-(e-5+图X-5-画），@(-4@-5-a〉 (10)(エ-2a-3)(x+2a-36),(11)(2x-2-2)(2x-a2+),(12)[(a+b)x+a-b][(a-b)x-a-b]; 4四品影：53，-8 习题8.11(1)1.(1)(+5)(x+6),(2)(+4)(x一9)， (3)(x+7)(x-4),(4)(c-3)(x-11); 2.(1)(x-5)(2c+1),(2)(+4)(3x-1), (3)(+2)(7x-3),(4)(x-2)(6x-5); 8.(1)(2y-1)(3y-2),(2)(2c-3)(3x+1), (3)(2+1)(4c-3),(4)(3y-5)(5y+1); 4.(1)2(x-2)(4+1),(2)3(x+3)(2x-5), (3)2(2y+3)(5y-1),(4)3(3y-1)(4y-3); 5.(1)(2c-3)(4x-1),(2)(y+4)(5-3), (3)(7+2)(3-2),(4)(2y-3)(9y-2). 习愿81(2)1.国-司，员，②)2，各（音， 2 の-言，0-，号，（の，（の-？ 23, (8)3 ●423· ==========第431页========== a,3a" ④2，”，间+642。·1 2 习题8.121.(1)(x-2y)(x+5),(2)(3x-2y)(x-3y), (3)-(x+7y)(c-y),(4)-(2c-3y)(-4划)，(⑤)(3x-5y)(x+3y),(6)(5x-y)(3x-4y), (7)2(x-y)(3x+y),(8)2(x+2y)(4x+), (9)(r+ay)(c-3ay),(10)(2ax-by)(ax+3by); 2.(1)(エーy+1)(2+3y-1),(2)(-3y+2)(x+2y-1), (3)(2x+3y-3)(3x-5y+2),(4)(2x-5y+3)(5x+y-1). 1 习题8131.(1)±1，±2，(2)±2，±3，(3)士1， ④±安，土导 2.(上3，②)±8()±号，④无实数根； 8. ()3, ,(2) V, vs (3)±2W3,±2√3，(4)±√5； 4. (1)0,-4, ±2， (2)二1V3,그V5 2 2 习题841.①0，-2,5，②)0，-宁，-4， ),ょ， ()0，- a是，京合1，图-8，出8.四0，-2，-8， ②±，±，±，④V. 习题8-161.()0，（②）0，()4，号，（④无根，问3， ·424· ==========第432页========== (@无根，)-8，号.82,9，@0，-号，(0： 2. (a) 2.,-号，3， (2)2，-용，325， ③-1，-8,2，-5，④-1考封E,间2，，-3，青，2 (2,是，1,13.±号，2)0a84.4天： 5,甲队24天，乙队48天；6.快车48公里/时，慢车36公里/时 7.静水24公里/时，顺流2亏小时，逆流3小时.习题818（④8.①2，②）12，（⑧）1，-是， (4)1,4,(⑤)3； 3.(1)15,(2)73,(3)2,(4)-2,(⑤)3； 4.(1)-1,(2)1,.(3)11,(4)1.习题816(2)1.(1)0，-1，(2)24； 2.④，②)(86； 3.(1)1,-9,(2)6,-1,(3)3,-1,(4)0,-5, 向-1，备，@7；.④1，-，0,85.25， 复习题八 2.四0,5+8WE,@V±v,③±，④4，名间号，最3.-1，多0，壹网1，- 4.四-君，2，②)是：5.1，-2，②，(0 7.(1)(i)cyr2+by+a=0,(i)a2-by+c=0, (iii)ay?+kby+k2c=0,(2)ay+(8-2ak)y+(c-bk+al)=0; 8.(1)(c-1)(x-4)(x-2)(红-3)， (2)(g+a)(r-a)(+b)(e-b); 0428· ==========第433页========== 9.(1)-1,2,-2,3,(2)1,-6; 10.四2,8,2倒-号1，-是(-1，-(④-8，量，间壹，-3，-言1 11.(1)2a±b,(2)a,b,(3)±， 음，웅，(49)a,b 1.④-2，②)8，(1，马，④10，-25，(@0,6,@豆， 15四士，②20，®)25，④10,0，-1，-0： 14134厘米，9.4厘米；15.甲队4.2公里/时，乙队3.5公里/时； 16.12;17.30套；18.4000块，4天. 第九章 习题92(1)4.(1)5 x=-1, y=5,ly=2, (3)x=15,rx=-20 ly=20,ly=-15, 4④)=3， (y=1; = 2 x=一2， 4’ x=一4，5.(1) ly=1,ly=-31(2) y=-11 13 4 9ly=3 x=1, 12 =5 = (3) 15 1 32 (4) ly= 2 2’ 15’ 16 51 6.)∫x=0,「x=2, 14, y=0,=21(2)=0,1=-17. lu= 14 ·426· ==========第434页========== 7.) 化=3，优=一15 =11, 「= 8g1, 41(②) y=- lg=7, 5 ly= =3， =ー7 3’ 8.(1)y=2,7(2) ly=3’ y=-1. 「c=一22， 习题92(2)1 = 2.(1) =3, ly-0; 3 化=-10， 15 3.()=3,-共，®{=一2， 2 g=4, 3 =5, ly=2 85 1 y 5,(=4 y= ly=5 ly= 8ag-克®87.()1,(2)±4W②； 8.63厘米，16厘米，65厘米；9.8厘米，6厘米； 10.甲车30公里/时，乙车24公里/时. 9(， ，に，ー3 =6， ·427· ==========第435页========== 优=-11， 2 2.(1)「x=2, 「G=3,ly=1, g15(2) 2 ly=1, x=2,=一 23.(1 (2) 「=4，ly=2, y=-19 2ly=3,y=- 4 ににに（に 6,6优=-2， 0=-2, 2 2 -23.=2,-3, ({ ∫x=-4,E=-4, ④∫=2，=2，x=-2，∫=一2，{g=3,1y=-3,lgy=3,ly=-3; 2.({=3,∫匹=3， y=2,y=1, =2, 6-,0=-2， ( =-1,y=-5,g=(3)(エ=1， 5=-1，ly=2,y=2; 3 8.四{ =-2,-2, ly=-1,y=-2, 1 3’ 2 (2)y=-5,y=-支，g=-1. 1 习题051.(=士V3,②=5，f=-5, (y=9, y=士5，y=±5； ·428· ==========第436页========== ◆6z◆ ‘&个-=风 /-=s9233c()T96避飞 一= -= 0=x 9 9=fm (e) 五一=更= 一=8 () -==-=》= = ‘g=i‘T=i 更= ‘=x ()五 9个五干8 ‘8-=(2) 8 9个？干9- 五 = ‘0=i Iー=()g9 =xl 8L T6个8 I6个8 ‘2一=i‘亿=() 68L 一= &L= 6个 I6个 "8-=i‘8=i‘五-=i‘五=‘五-==x‘g-=‘g=(e)‘9个-=‘入=i 9个✉x g-= (e） ==========第437页========== √座， 0=14 5√， (2) =一14 g=-,g=, 3){ 〔x=2,「x=-2，=，v0, y=一'1 2.四品=-8∫优=√②，e=-√2， y=1, 1,{y=-2W2,lgy=2W2, (2 fx=3=-3,J=2,=-2, =2,ly=-2,ly=3,lg=-3; 「化= 5√/22 -5V22,=-√，=V②， = 3.(1) 7 13 化= 13 (2) 풍，--， ly=18 5,g=18.125’y=5’ (3)匹=8W2,m=-3W,j®=2V2,'匹=-2W2, g=2Wz,1gy=-2W√z,ly=3V2,lg=-3√. 2 (にC다 8. y=1, , にx=一27， ·430· ==========第438页========== 复习题九 142 =4， 25’= 1 1.(1) g=3, (2) x=4,5 y= 1925’ y=2,y= x=1 4 2.(1)fx=6, 「x=4, 4 91 ly=10,y=15,(2)y=1, y=12 13 1 1 3.(1)f四4=， 1(2)∫父=8，x=3, ly-16’y=64' ly=5,ly=10; =3,=3, 〔=-3，=-3， 4、(1) ly=. 1 5ly=.5’ 「一a, (2)b ly= 2’ly=b,y=-b; 5.(1)花=0，∫=-7，y=0,1y=7,=-35,花=2， f化=26，ly=-3,ly=1, y=5,lg=-7 6.(1) ∫x=3,∫花=3， y=-3,y=2, 41 18 13(3) 5路 (C- 5’ 25(4)了 5 12’ ly=5’ Ly=- 7.)j=1,jx=-1, g=2,g=-2, 3’「=-2,[x=3 3 1g=-3, 1 ·431、 ==========第439页========== 8.() 四ーる 、3 g=-5 ,ly=3 3y=’ =2,超-2,1+g,1V 2{ jz=-2,jx=-1+V3,jx=-1-√3， oi2p r글8v, に- 0.(6 1.({に（にに，にー，に14 g=4,g=2 心=2 ， r=1,x=1, 12.(1)y=5,g=-1 3’(2){y=2,y=-2, g=1, 8=3,8=-3; :: 3 !.... 13.(1)m=士1，(2)-12，(2)>-1,8)<8，④g<-4-VB,(x≤ 2,(6)ェ>1成<ーす（のー<ュ 父=2’ x=-1, 11.(1)y=1, =-2,(8){1.( rx=5, 2 y=1, y=2, y=' g=2; x=2, 12.(1)y=1, g=-1,(2){y=2, u=-2, lg=-1; 1-m+n 2c-’ 13.(1) (2)了y=1+m-n y= 2b 3 g=-+m+n; 2a 4.4=-17,B=24; 04a8 ==========第441页========== 15.②30-2a,8司y-2, ④当>名，2a-5;当g-》:09当<号，5-29 16.(1)3.391,(2)0.2806,(3)18.21,(4)0.3578; 18.(1)400,(2)0.075,(3)1.27;19.53平方厘米； 20.山zg，g<-号，)<号，④>号间>-哥，@<-9；21.+y-5,⑧-4 2.倍+和信-e>) 或-任-(x-는 m<-,但+-；-・但m-1 (3)m<-但m*-15≤-景，但网中-，(④)-2W/6